Полiт.ua Государственная сеть Государственные люди Войти
20 сентября 2017, среда, 12:36
Facebook Twitter LiveJournal VK.com RSS

НОВОСТИ

СТАТЬИ

АВТОРЫ

ЛЕКЦИИ

PRO SCIENCE

СКОЛКОВО

РЕГИОНЫ

31 января 2007, 09:00

Зеркальная симметрия и кольца инвариантов

Как бы ни было обидно и странно для математиков, но расхожее мнение «рядового обывателя» состоит в том, что в математике уже давно все сделано. В лучшем случае математика используется в прикладном смысле,  а в целом ее основная роль сводится к роли беспощадного «экзекутора» на вступительных экзаменах в институты.

В связи с этим математика не воспринимается как наука, а просто как предмет в школах и вузах, наиболее формализованный  в ряду остальных, и поэтому вызывающий чувство естественного отторжения для большинства, в первую очередь, для людей «гуманитарного» склада мышления.

То, что  математика еще продолжает развиваться, что в ней происходят открытия, вызывает у многих искреннее удивление, хотя бы по причине того, что в отличие, скажем от физики и биологии, средства массовой информации ничего не сообщают об этом. Счастливым исключением последнего времени является информационный всплеск вокруг решения Григорием Перельманом знаменитой гипотезы Анри Пуанкаре столетней давности.  И то, надо отметить, что интерес средств информации сосредоточен не столько на научной стороне дела, сколько на истории, связанной с отказом Перельмана от всех почестей и наград за свои достижения.

Отсутствие массмедийной информации о математике вызвано несколькими причинами: большой абстрактностью предмета и, соответственно, его терминологической сложностью, отсутствием очевидных приложений, а также отсутствием явной потребности у профессиональных математиков популярно рассказывать о достижениях в своей области.

Вместе с тем, математика, оказывается, имеет все признаки не сухого устоявшегося школьного или вузовского предмета, а живой науки. Современная математика  – это фундаментальные проблемы, развитие ее приложений, непрекращающиеся теоретические, а с появлением эры компьютеров, и экспериментальные исследования.

Наряду с этим, казалось бы бесспорным, прогрессом последние десятилетия развития математики в России, да и в мире в целом, характеризуется усиливающимся дистанцированием теоретической и прикладной математики. Теоретикам и прикладникам становится все труднее понимать друг друга. Одна проблема налицо – усиливающийся изоляционизм теоретической математики. Чтобы не обсуждать это явление беспредметно в качестве аргумента представим точку зрения российской академии наук на теоретическую математику, консолидированную в недавно опубликованном многолетнем плане работы академии под названием «План фундаментальных исследований Российской академии наук на период до 2025 года» (Москва, Наука, 2006).

(Кстати, многие математики не в курсе существования такого мощного документа, определяющего их жизнь. Наша задача состоит в том, чтобы, по возможности в популярной форме, прокомментировать «наиболее абстрактную из наиболее абстрактных частей» этого "Плана". Автор приносит свои извинения математикам-профессионалам за возможные «сверхупрощения»  и естественную субъективность образов обсуждаемых математических объектов и структур с надеждой на сохранение их общего смысла в процессе популяризации. Порядок изложения следующий. Сначала приводится минимально замкнутый по смыслу кусочек плана академии непосредственно по тексту исходного документа, чтобы избежать различных интерпретаций и двусмысленностей. Этот кусочек выделяется подчеркиванием. Затем даются комментарии, поясняющие нашпигованный специальной терминологией оригинальный текст и выделяемые словом «комментарии». )

Надеемся, читатель имеет представление со школьной поры о том, что алгебра решает алгебраические уравнения, геометрия изучает как свойства пространства, так и  свойства кривых и  поверхностей в нем. Напомним также, что школьный математический анализ изучает поведение функций на действительной оси (его вершина - экспоненциальная и логарифмическая функция), а школьная информатика содержит элементы языков программирования и математической логики.  Наконец, все пользователи Интернета автоматически, в той или иной степени, знакомы с информационными технологиями.

Мы ограничились примерно десятой долей математической части «Плана», умышленно выбрав наиболее абстрактные и поэтому наиболее сложные направления.  Впрочем, уже и этого объема информации хватит как для последующего анализа «Плана», так и для того, чтобы у непривычного к «жесткой» математической терминологии читателя основательно подзатуманилась голова. Желающие упростить себе жизнь, или лишить себя возможности сладко заснуть, могут пропустить «страшный» математический кусок и сразу начать с анализа «Плана».

В любом случае уважаемый читатель увидит, что сама математика сильно диверсифицирована – она имеет весьма содержательную внутреннюю структуру, складываясь из многих дисциплин, которые «проектируются» на очень многие стороны нашей повседневной жизни.

1.    Алгебра, теория чисел, математическая логика.

Математическая логика.

Исследования логико-математических исчислений и задач вычислимости.

Комментарии.  Это направление математики имеет истоки в классической математической логике. А именно, на основе множества символов (алфавита) и связок (кванторов) строятся высказывания (предикаты), а затем и язык (логико-математическое исчисление). 

Такая, возможно «наиболее абстрактная, сухая и оторванная от реальной жизни» математика, сегодня неожиданно приобретает очень интересную перспективу. Ее актуализация происходит в связи с разработкой многофункциональных языков программирования и конструированием оптимальных (по затрачиваемому времени) алгоритмов вычислений.  Наиболее захватывающая перспектива возникает в связи созданием теории так называемых квантовых вычислений, которые лежат в основе работы квантовых компьютеров – качественно нового технологического этапа в сфере быстродействия  вычислений на компьютере.

Теория чисел.

Исследование новых типов тригонометрических сумм и L-рядов. Оценка классов тригонометрических сумм.

Комментарии.  Это классическая тема, интенсивно развивающаяся весь 20-тый век.  Она представляет аппарат классического математического анализа, специально приспособленный для исследования простых чисел и закономерностей, связанных с ними.

Изучение гипотезы Римана о нулях дзета-функции.

Комментарии. Это знаменитая гипотеза, имеющая гораздо более важный статус, чем, например, так называемая Великая Теорема Ферма.  Ее важность обусловлена тем, что ее решение позволит получить ключевую информацию о простых числах – важнейших объектах математики. Из нее, например, следует, что распределение простых чисел имеет вид х / ln x , где ln x – натуральный логарифм числа x, стремящегося по абсолютной величине к бесконечности.

Сама дзета-функция Римана имеет несложный, но все же необычный вид: она задается суммой бесконечного числа слагаемых 1/ns.

Простые числа лежат, например, в как основе теории кодирования и декодирования, так и  перспективной теории квантовых компьютеров.

Алгебра.

Построение бирациональной классификации алгебраических многообразий в связи с программой минимальных моделей в высших размерностях.

Комментарии. Речь идет о наиболее естественной («бирациональной») классификационной теории для алгебраических поверхностей в многомерных проективных пространствах. N-мерное проективное пространство моделируется n-мерной сферой с отождествленными диаметрально противоположными точками, а алгебраическая поверхность задается одним или несколькими алгебраическими уравнениями с переменными из соответствующего проективного пространства.

Программа классификации поверхностей в N-мерном проективном пространстве «с точностью до бирациональной эквивалентности» и составляет основу такой современной математической дисциплины как алгебраическая геометрия. Для сравнения отметим, что в обычном n-мерном евклидовом пространстве аналогичная теория называется римановой геометрией и является вполне устоявшейся.

Алгебраическая геометрия является сравнительно новой математической дисциплиной. Она возникла на стыке 19-го и 20-го веков благодаря итальянским математикам. По сравнению с римановой геометрией алгебраическая геометрия более продвинута: она, например, позволяет описывать глобальные свойства тех же поверхностей в евклидовом пространстве, чего не может делать риманова геометрия.

На практике это описание было осознано физиками и успешно эксплуатируется в рамках так называемой «теории интегрируемых систем», позволяющей точно решать неподдающиеся «римановой» геометрии нелинейные дифференциальные уравнения для многих совершенно конкретных физических процессов.

Исследование производных категорий когерентных пучков и их связей с теорией зеркальной симметрии.

Комментарии. Производные категории когерентных пучков можно рассматривать как естественный аналог математического анализа для исследования алгебраических поверхностей – глобальных геометрических объектов. Такие глобальные объекты как алгебраические поверхности (научный термин - алгебраические многообразия) имеют смысл  «производных» объектов от простейших глобальных геометрических объектов – это естественные усложнения многомерных проективных пространств.

Когерентные пучки играют роль глобальных систем координат на алгебраических поверхностях, а их производные категории приобретают смысл эффективного инструмента классификации и исследования взаимосвязей алгебраических поверхностей.

Теория зеркальной симметрии является мостиком между теорией алгебраических поверхностей и теорией обычных n-мерных поверхностей в евклидовых пространствах. Потенциально она позволяет перенести информацию, полученную в алгебраической геометрии на  классическую (риманову) геометрию.

Можно сказать, что теория зеркальной симметрии – это теория описания «зеркала» («правильной двойственности») между «геометрией с центром в нуле» (евклидовой, неевклидовой – геометрии Лобачевского, римановой геометрией) и «геометрией с центром в бесконечности» (проективной геометрией).

Возможный физический образ зеркальной симметрии очень элегантен и романтичен: это зеркало (мезомир – мир «средних размеров») между микромиром (микрокосмом) и макромиром (макрокосмом, космосом).

С прикладной точки зрения теория зеркальной симметрии активно используется в современной струнной модели квантовой теории поля.

Изучение строения колец инвариантов алгебраических групп и алгебр Ли, пространств модулей векторных расслоений.

Комментарии. Группы и алгебры Ли, введенные двухметровым норвежцем Софусом Ли (рост и национальность подчеркнуты, поскольку сегодня фамилия  Ли слабо ассоциируется с Норвегией)  в конце 19-го века, являются наиболее естественными математическими моделями для очень многих  физико-химических объектов и процессов.

Кольца инвариантов является естественными глобальными координатами на группах и алгебрах Ли.

Векторные расслоения (на поверхностях) являются очень естественным примером когерентных пучков (на поверхностях) и позволяют получать глобальную информацию о самих поверхностях.

Приведем «фантастический сельско-хозяйственный» пример: представьте Луну, полностью покрытую посадками зеленого лука.  Одиночная стрелка лука представляет вектор, вся посадка лука – векторное расслоение на поверхности, в данном случае, поверхности Луны.

Теория модулей векторных расслоений представляет теорию классификации векторных расслоений на поверхностях.

Разработка теории особенностей плоских кривых (группы кос и фундаментальные группы дополнений) и симплектических многообразий.

Комментарии. Данная теория находится на стыке классической топологии, открытой Пуанкаре, и классической алгебраической геометрии для алгебраических поверхностей минимальной размерности (алгебраические кривые – одномерные алгебраические поверхности).

Группы кос и фундаментальные группы дополнений представляют собой наиболее естественный инструментарий,  как образно говорят сами математики, для «хирургии» поверхностей внутри которых лежат кривые. Другими словами, с помощью этой теории «хирургии» можно как «препарировать», так и «оперировать» уже многомерные поверхности и, тем самым, получать их информацию об их глобальной структуре. Такая хирургия сама по себе представляет также и инструмент классификации для «подопытных» поверхностей.

Симплектические многообразия можно определить абстрактно, но можно мыслить и как поверхности, моделирующие (многомерные) графики естественных динамических процессов  (простейший пример симплектического многообразия – график совместной эволюции во времени множества координат и скоростей колеблющегося гармонического осциллятора или математического маятника).

Исследование n-мерных локальных полей и их применений к арифметике схем (гипотезы Хассе-Вейля и Берча-Суиннертон-Дайера, адельные резольвенты пучков, диофантовы уравнения, теория символов и центральных расширений) – Уф(!).

Комментарии. Говоря по-простому  и коротко, все это сплетение  замысловатых понятий и теорий имеет хороший потенциал представлять язык и математический аппарат будущей объединенной физики (квантовой теории поля и теории квантовой гравитации «в одном флаконе»). Другими словами, этот математический аппарат  может стать теоретической базой вычислительного аппарата будущей физики.

Арифметика схем. Под арифметикой схем можно мыслить замену геометрических способов описания исследования алгебраических поверхностей, кодируемых специальными числовыми наборами – координатными спектрами (так называемыми «схемами Гротендика») на теоретико-числовые способы работы с указанными  спектрами.

N-мерные локальные поля. Это «правильные» координаты в n-мерном искривленном пространстве, учитывающем его иерархическую структуру, составленную из пространств меньшей размерности. Важно, что эти именно эти координаты согласованы с глобальной топологической структурой  исходного пространства, в котором, например, могут быть дыры. Обычных евклидовых глобальных координат в таких пространствах ввести не удается как раз из-за сложной топологии.

Гипотеза Хассе-Вейля. Речь  идет  о предполагаемом продолжении естественных и «почти глобальных» координат (это L-функции) на специальных алгебраических поверхностях в целом на всю поверхность. 

Поверхности здесь - это так называемые «эллиптические кривые над  полем рациональных чисел» – алгебраические кривые следующей степени сложности после знакомого всем эллипса. При этом коэффициенты задающего эти поверхности алгебраического уравнения являются рациональными числами, т.е. обычными дробями.

Упомянутая «почти глобальность» означает, что указанные L-функции  формально не определены только в одной из точек своей области определения (т.е. в этой точке нет формального правила, сопоставляющего ей значения L-функции).

Точка, в которой L-функция формально не определена, называется особой точкой.

L-функции, сами по себе, очень необычны. Так, в окрестности особой точки их поведение напоминает «единство и борьбу противоположностей». С одной стороны, L-функции  там ведут себя подобно  хорошо известной логарифмической функции ln x, а с другой – подобно знаменитой экспоненте ex  (или exp(x)), которая «противоположна» функции ln x (является обратной к ней функцией).

Структура основных блоков из которых строится L-функция при некоторых естественных предположениях имеет смешанный «экспоненциально-логарифмический» вид ns=es ln n.

Нельзя исключить, что указанное гипотетическое продолжение получит физический смысл. Здесь напрашивается аналогия со знаменитой так называемой дельта-функцией Дирака. Эта функция (строго говоря, это так называемая «обобщенная функция») описывает локализованные в точке пространства сгустки энергии, например, точечные заряженные частицы.

Аналогия состоит в том, что так же, как и гипотетически продолженные L-функции,  дельта-функция Дирака.является предельным объектом для аппроксимирующей последовательности функций экспоненциального типа. При этом функции из аппроксимирующей (т.е. приближающей) последовательности имеют смысл распределения величины вероятности  нахождения некоторой физической частицы в конкретной точке пространства. При этом такое распределение описывается известным гауссовским законом. Замечательно, что сам предел такой «вероятностной» последовательности уже не вероятностен, а детерминирован – это физическая частица в конкретной точке пространства.

Значимость L-функций.  Важность этого математического объекта ярко подчеркнута филдсовским лауреатом Максимом Концевичем и замечательным немецким математиком Доном Цагиром в прекрасной совместной работе неформального стиля (столь нехарактерного для математиков высокого уровня) под названием «Периоды». Цитируем: «Одним из наиболее важных и наиболее мистических открытий прошедшего века явилось то, что только один объект соответствует сразу нескольким базовым объектам арифметики, а именно:  числовым полям, представлениям Галуа, алгебраическим многообразиям и модулярным формам можно сопоставить определенные аналитические функции, называемые L-функциями, которые кодируют самым глубоким образом свойства всех этих объектов и отношения между ними».

Отметим, что открытие этих функций (в связи с разработкой методов суммирования бесконечных рядов слагаемых, имеющих числовую или функциональную природу) имеет корни в творчестве выдающегося математика всех времен и народов «питерца» Леонарда Эйлера, которому в апреле этого года исполняется ровно 300 лет. Эйлер, по-сути, открыл и упомянутую выше знаменитую функцию Римана еще в 1744 году (Риман творил в середине 19-го века).

Гипотеза Берча-Суиннертон-Дайера.  Данная гипотеза в своей «минимальной формулировке» утверждает равенство двух очень важных чисел («универсальных нульмерных инвариантов»). Это, с одной стороны, размерность плоского пространства, в котором эллиптическая кривая над полем рациональных чисел «выпрямляется». С другой стороны – «степень уплощения» рассматриваемой алгебраической кривой в особой точке ее области определения.

«Выпрямление» кривой (не только эллиптической) в некотором линейном (т.е. в «некривом», или плоском) пространстве (достаточно большой размерности) означает, что в этом линейном пространстве она является геодезической (наикратчайшей) кривой, т.е. прямой. Сама же исходная «настоящая» кривая получается из своего «выпрямления» отображением проекции, вполне аналогичным тому, как географический атлас может быть рассмотрен как отображение проекции глобуса (в этом примере проекция – многозначное, или, многолистное, отображение) .

Например, обычный эллипс «выпрямляется» в пространстве размерности 2, поскольку совсем несложно показать, что эллипс моделируется замкнутой прямолинейной обмоткой (т.е. геодезической линией) на торе – прямоугольнике со склеенными противоположными сторонами (бытовая интерпретация тора – бублик или велосипедное колесо).

Пример «порядка уплощения» функции в некоторой точке таков: порядок уплощения простейшей степенной функции xn в точке x=0 равен n-1.

В рассматриваемом же случае «эллиптической кривой над полем рациональных чисел» все становится гораздо сложнее.

Значимость гипотезы Берча-Суиннертон-Дайера (также по Концевичу и Цагиру): «Гипотеза Берча-Суиннертон-Дайера, изначально сформулированная в середине 60-х годов пошлого века на основе численных экспериментов (Берчем и Суиннертоном-Дайером), является одним из наиболее прекрасных и наиболее интригующих открытых вопросов в теории чисел».

Отметим также, что эта интригующая гипотеза включена в список семи «проблем тысячелетия», предложенных математическим институтом Клэя, причем, под первым номером.

Адельные резольвенты пучков. Речь идет о корректном (т.е. непротиворечивом) построении математического анализа (подобного стандартному школьному матанализу для функций вида y = f (x)), только уже для естественных аналогов функций на многомерных алгебраических поверхностях.

Адельные резольвенты пучков задают естественную метризацию (нормирование) на алгебраической поверхности и позволяют определить, например, аналоги пределов функции в точке уже в этой, новой и гораздо более абстрактной, ситуации (впрочем, она гораздо интереснее, чем школьный анализ для обычной действительной прямой).

Теория символов. Символы представляют один из естественных инструментов метризации алгебраических поверхностей. Символы позволяют устанавливать метризационные отношения между точками алгебраической поверхности. В частности, символы позволяют определить  аналог операции дифференцирования на такой поверхности, что необходимо для развития математического анализа.

Теория центральных расширений. Это наиболее естественная иерархическая координатизация объемлющих алгебраических структур структурами, вложенными в них, т.е. меньшими, структурами. Это достигается естественным «центрированием»: меньшая структура «помещается в центр» большей структуры. Например, обычный двумерный тор – окружность, параллельно обнесенная по другой окружности (поверхность бублика), - является центральным расширением окружности, лежащей в нем «по диагонали» (аналог этой диагонали в обычном торе – диагональ квадрата).

Диофантовы уравнения. Это алгебраические уравнения с целочисленными аргументами и степенями. Наиболее ярким и известным  диофантовым уравнением является уравнение Ферма xn+yn=zn.

Разработка К-теории Квиллена в связи с кобордизмами Воеводского.

Комментарии.

 К-теория. Это, возможно, наиболее абстрактная современная математическая теория. Ее можно мыслить как «универсальный матанализ», т.е. как глобальный «алгебро-геометро-математический» анализ, работающий с функциями многих переменных y=f (x1,...,xn). Универсальность состоит в том, что аргументы x1,...,xn представляют, в свою очередь, «матанализы» для конкретных алгебраических поверхностей. Сама функция f  имеет максимально простую структуру – является обычной линейной функцией. Такая простая структура функции f  часто позволяет находить ее явно. Это делается синтезом координатных «строительных кирпичиков» - L-функций каждого из многомерных аргументов xk, идеально их кодирующих отдельные «матанализы» для аргументов xk.

У  К-теории появляется физический смысл, если представить, что  значения функции f (x1,...,xn) представляют физическое время. Тогда К-теория потенциально приобретает смысл математического аппарата квантовой теории поля, т.е. теории реального мира взаимодействующих частиц.

К-теория своим созданием обязана великому и загадочному французу Александру Гротендику, впервые начавшему «складывать пучки на алгебраических многообразиях» в середине 50-х годов прошлого века. Даниэл Квиллен сделал основополагающую работу в этом направлении в начале 70-х годов прошлого века, построив соответствующий анализ для одного «n-мерного аргумента» xk. Аргумент xk в модели Квиллена реализуется группой n-мерных матриц над «минимальной модельной областью определения» - полем из конечного числа элементов (это множество имеет геометрический смысл множества самосовмещений правильного p-угольника с простым числом сторон p).

Кобордизмы в К-теории. Это следующая степень абстракции по отношению к К-теории. Можно сказать, «надстройка над К-теорией».

Кобордизмы в К-теории можно мыслить как отображения, имеющие смысл замен переменных для функций f (x1,...,xn). Они представляют своего рода «теорию относительности для алгебраических поверхностей». Такие отображения замен переменных в нашем глобальном  «алгебро-геометро-математическом»  анализе обладают удивительными свойствами. Например, они одновременно имеют структуру как дискретных, так и непрерывных объектов (это смешанная дискретно-непрерывная, или «мотивная» топология). 

Владимиру Воеводскому, филдсовскому лауреату 2002 года, принадлежит современный основополагающий вклад в развитие К-теории Квиллена и связанной с ней так называемой «теорией мотивов Гротендика».

Группы Галуа локальных и глобальных полей.  Эти группы представляют  преобразования, играющие роль основных модельных структур в математике. Они упорядоченным образом переставляют друг с другом элементы (точки) модельных областей определения всей категории математических структур, называемых полями (смысл термина «поле» можно ассоциировать с физикой, а при желании – и с сельским хозяйством). Такие множества преобразований имеют красивую симметричную структуру (структуру групп) и были открыты Эваристом Галуа при исследовании точной разрешимости алгебраических уравнений произвольной степени (теория Галуа).

Красота и наглядность теории Галуа была выявлена Феликсом Клейном, показавшем, что ее геометрической стороной являются симметрии платоновых тел – максимально симметричных из всех известных в природе многогранников.

Группы Галуа локальных полей представляют теорию симметрий Галуа естественных модельных дискретных нормировочных структур и служат средством изучения теории Галуа уже глобальных полей. Глобальные поля – множества, имеющие в своей основе множество рациональных  чисел (т.е. дробей). 

При этом смысл  рациональных чисел фундаментален. В определенном смысле рациональные числа  обладают «суперсимметричной» структурой, или структурой «супергруппы»; другими словами такая «сверхсимметричная» математическая структура называется полем. Рациональные числа являются примером «минимального бесконечного» поля.

Кратко говоря, поле рациональных чисел – это, если угодно, основная нормировочная или метризационная структура математики, т.е. «главная математическая линейка». У физиков такая нормировочная линейка сейчас только создается – это теория элементарных частиц (важнейшая часть так называемой «калибровочной теории поля»). На создание этой «нормировочной шкалы физического мира» тратятся миллиарды долларов, поскольку ее экспериментальной базой являются очень дорогие и сами по себе энергоемкие установки – так называемые коллайдеры. Современные надежды физиков связаны с Большим Адронным Коллайдером, начинающим работать в этом году  в Швейцарии. Стоимость этого проекта составляет более пяти миллиардов долларов.

Отметим, что современная теория Галуа действительно широко используется в современной физике (квантовая теория поля, физика элементарных частиц, квантовая гравитация)  как инструмент моделирования симметрий физического мира.

L-ряды, связанные с группами Галуа полей. Эти ряды являются удобным средством кодирования групп Галуа, равно как и наоборот. Такие ряды напоминают по своей структуре хорошо известный ряд геометрической прогрессии. Можно сказать, что L-ряды «производят» (кодируют) симметрии Галуа. Поэтому, в частности,  L-ряды позволяют работать с абстрактной алгеброй средствами такого понятного и осязаемого математического анализа – вычислительного аппарата, знакомого еще со школы.

Теперь для контраста и для объективности последующего анализа рассматриваемого здесь «плана» приведем ряд его позиций  без комментариев.

Исследование прямой конструкции алгебраических К-теорий Моравы и вычисление алгебры Стинрода.

Комментарии.

К-теории Моравы. Это теория Галуа, или теория симметрии, определенная на К-теории. Аналогами алгебраических многочленов от одной  действительной переменной – основных объектов теории Галуа - являются многочлены от  наиболее общих («стабильных») пучков на алгебраических поверхностях. 

Такая обобщенная теория Галуа имеет богатую внутреннюю структуру в силу большого числа независимых аргументов у многочленов и естественного возрастания их степеней.  Эта естественная теория симметрии «наводит порядок» на К-теории.

Более того, теория Галуа позволяет геометризовать К-теорию через свою  реализацию в общих симметриях многомерных сфер («стабильные гомотопические группы»). Это позволяет развить определенную геометрическую интуицию.

В результате К-теория приобретает естественную иерархическую, или как говорят «башенную», структуру. Поэтому она распадается на несвязанные друг с другом куски этой башни – отдельные К-теории Моравы.  В этом контексте К-теории Моравы приобретают  смысл инструмента структурирования К-теории.

Алгебры Стинрода.  Эти структуры представляют системы связующих наиболее естественных («стабильных») операций между объектами К-теорий. Данные операции организуют «внутреннюю иерахическую жизнь» внутри К-теорий. Они имеют структуру «алгебр» - красивых математических структур, близких по своей природе к группам. Эти системы операций можно рассматривать как естественные обобщения простейшей системы операций - операций сложения и умножения для обычных действительных чисел.

Изучение главных однородных пространств над редуктивными алгебраическими группами (гипотеза Серра  и Гротендика о слабой гомотопической инвариантности функтора гавных однородных пространств).

Исследование L-функций автоморфных форм для дискретных подгрупп ортогональных и симплектических групп.

Исследование многомерных непрерывных дробей и их применений в вычислительной математике, теории динамических систем и статистической физике.

Разработка спектральных методов в теории чисел.

Изучение конечных, конечно-порожденных и топологических групп комбинаторными методами гомологической алгебры.

Ну, как? Вам, конечно, стало легче. Поэтому, пожалуй, на финишной прямой продолжим «планировать» с комментариями. 

Геометрия и топология.

 Исследование потоков метрик на трехмерных многообразиях в связи с гипотезой Терстона о геометризации и гипотезой Пуанкаре о трехмерной сфере.

Комментарии.

Гипотеза Терстона о геометризации. Эта гипотеза состоит в том, что любое трехмерное многообразие (поверхность) склеивается  максимум из восьми различных и также трехмерных «строительных блоков».

Наиболее простыми примерами таких кирпичей являются трехмерная сфера («трехмерное эллиптическое пространство»), трехмерное евклидово  пространство («трехмерное плоское пространство»), трехмерное гиперболическое пространство («антипод» трехмерной сферы). Остальные блоки имеют более сложную структуру.

Гипотеза Пуанкаре о трехмерной сфере. Эта гипотеза утверждает, что если по некоторой трехмерной поверхности всегда можно стянуть в точку любой одномерный замкнутый контур (его можно мыслить как резинку, которой обматывают пачки денег), то эта поверхность – всегда трехмерная сфера (легко проделать такой мысленный эксперимент для двумерных поверхностей).

Именно за решение этой проблемы российскому математику Григорию Перельману в 2006 году были присуждены как Филдсовская медаль (высшая оценка труда для математиков), так и премия математического института Клэя размером в один миллион долларов. Впрочем, от обеих наград он отказался, не желая интерпретировать занятие наукой как способ личного обогащения.

Исследование потоков метрик на трехмерных многообразиях. Это метод, лежащий в основе доказательства Перельмана. Он поразительным образом имеет физическую основу. А именно: свойства исходной поверхности неожиданным образом исследуются с помощью дифференциального уравнения специального вида, напоминающего знаменитые уравнения Эйнштейна из общей теории относительности. Парадоксальность этого подхода также состоит и в том, что сама трехмерная сфера изначально предполагается не гладкой, а, как говорят, топологической сферой. Другими словами, наша сфера не обязана быть гладкой поверхностью; в общем случае она подобна репейной колючке. Вместе с тем,  решения дифференциального уравнения в обычной ситуации являются гладкими (как говорят, дифференцируемыми), а не «колючими» (как говорят «непрерывными»). В этом и состоит парадокс. Но Перельман находит способ системно «отщипывать колючки» (как говорят, «разрешать особенности»).

Решения уравнения, взятого Перельманом в качестве отправной точки  – куски исходной поверхности. Кстати,  впервые это уравнение написал Ричард Гамильтон, современный американский «дифференциальный геометр»,  которого не надо не путать с Уильямом Гамильтоном – классиком, изобретшим знаменитые  кватернионы. Далее идея Перельмана состоит в том, что «хорошим» свойствам пространства решений уравнения Р. Гамильтона соответствуют «хорошие» поверхности. Перельману после крайне сложных в техническом плане вычислений как раз и удается установить такие «хорошие» свойства решений, соответствующие, в частности, трехмерной сфере.

Анализ математической части «Плана».

 

Рассматриваемый нами «План»  и, более конкретно, его часть под названием «направления классической математики», действительно имеет структуру плана в самом обычном управленческом смысле. Там есть нумерующая кодировка дисциплин, названия тем приводятся в графе «Какие основные научные задачи намечается решить в результате выполнения работ в рассматриваемый период», также есть графа «Сроки исполнения» с указанием начала и конца срока.

Попробуем теперь ответить на естественные вопросы, которые возникли бы  при анализе любого плана с точек зрения «усредненного» математика и нормального человека с любым высшим образованием, интересующегося наукой. Для этого нужно сначала представить, что никаких комментариев к оригинальному тексту плана нет, и мы видим только оригинальный текст – такой, как на «отрезке плана без комментариев». Пойдем последовательно по пунктам.

1.    Цели планирования и их ясность целей.  Хотелось бы, чтобы были видны понятные общие  цели, причем, понятные не только самим математикам, но и тем, кто планирует развитие нашего общества в целом. Конечно, математика, тем более теоретическая, непростой предмет для понимания и, тем более, для понимания непрофессионалами и, соответственно для планирования.

      Но все-таки, было бы, важно, чтобы, по-крайней мере, большинство математиков  знало и понимало, хотя  бы в целом, содержание этого весьма солидно смотрящегося "Плана".

То, что такого нет – достаточно очевидно. Можете провести эксперимент, поговорив об этом со знакомыми математиками (заодно они узнают о существовании "Плана"). В этом смысле план формален и составлен достаточно механистически. Его можно сравнить с блюдом, в котором все ингредиенты есть, все они сами по себе вкусны и свежи, но нет повара, делающего из них блюдо. Впрочем, это сравнение, как нам кажется, вполне отражает реальное состояние математического сообщества, разбившегося на маленькие подсообщества, замкнутые в своей проблематике и плохо сообщающиеся друг с другом. Формально говоря, в рамках плана, каждая «сестра» (сложившаяся научная школа, «оставшаяся в тени») получает по своим «серьгам» (строчке-другой в плане). Никто не говорит, что это плохо или неправильно. Тем не менее данный план и дальше «планирует» (пусть и неумышленно) продолжение имеющегося де-факто разъединения математиков и математики через формальную компоновку тематики.

Подытожить все это можно известной поговоркой: «В России нет дорог, а есть одни направления».  Так, все-таки, можно по-человечески сказать – куда движется математика?

В качестве возможной точки зрения на тему целей планирования и возможного ответа нашей Академии наук на этот вопрос, можно предложить следующие выдержки,  взятые из предисловия к обсуждаемому "Плану".

а. «Разработанный «План фундаментальных исследований РАН» должен рассматриваться как первый этап разработки прогноза научно-технологического развития страны на долгосрочную перспективу, с последующим определением на его базе приоритетных направлений развития науки, технологий и техники и формированием перечня критических технологий».

б. «Подобно всякому прогнозу, представленный План будет периодически корректироваться на основе полученных новых знаний, позволяющих уточнить наиболее перспективные направления фундаментальных исследований в интересах развития страны».

в. «Современная фундаментальная наука является особой средой, генерирующей знания об основах мироздания, о природе и о человеке. Считается общепризнанным, что крупные достижения фундаментальной науки, в виде важнейших по своим последствия открытий, возникают стохастически, непредсказуемым образом».

г. «Планирование «чистых» фундаментальных исследований осуществляется научным сообществом, сообразуясь с научно обоснованными представлениями о перспективах научного знания».

Возникает ощущение, во-первых,  неконкретности, а во-вторых,  аксиоматизированной оторванности планирования фундаментальной науки от общества, дело которого спокойно воспринимать то, что ему скажут.  Однако, такой стиль планирования, как мы видим, уже пускает метастазы и на собственное научное сообщество – свой родной организм. Членам этой, и так весьма узкой прослойки общества, не объясняется в должной степени, что же они сами делают.

Возможно, здесь и лежит корень самоизоляции современной фундаментальной науки от  общества. Кажется вероятным, что такой изоляционистский стиль планирования – стиль без обратной связи с обществом и природой - и провоцирует и усиливает ее кризис. А математика на магистральных путях своего развития всегда черпала постановки своих задач из проблем природы и общества. Сейчас же часто принято говорить, что современная математика пригодится лет через 100-200, но кто же будет способен ее тогда адаптировать?

2.                Мотивы целеполагания. Непонятно для чего поставлены цели, кому они понятны, почему они важны, и наконец, кому они известны. Хотя, соверщенно точно можно сказать, что план полностью соответствует задачам, стоящим сегодня перед мировой математикой.

           Вот что говорится в Предисловии к Плану на эту тему.

«Исследования в области математических наук имеют важнейшие прикладные значения практически во всех отраслях науки и экономики – от решения гуманитарных задач, связанных с развитием человека, до прогнозирования глобальных процессов. Именно результаты математических исследований оказывают наибольшее влияние на повышение безопасности государства, включая обороноспособность».

            Вместе с тем, создается такое впечатление, что план создавался только для чтения           уважаемых чиновников от науки, выделяющих деньги под формальное соответствие   заявок плану.  Но чиновникам суть и непонятна и не особенно важна (если это так, то я  не прав), а важно наполнение бюджета деньгами с последующей процедурой их распределения.

Вот точка зрения Академии наук на эту тему из Предисловия:

«Развитие «чистой» фундаментальной науки, как деятельности, не гарантирующей экономического эффекта в течение заранее заданного отрезка времени, осуществляется преимущественно за счет общества в целом, т.е. финансируется из бюджетных  источников».

3.  Технология достижения целей. Как планируется достигнуть цели непонятно, поскольку и сами цели размыты («исследовать, разработать, изучить») и средства их достижения никак не обозначены.

Академическая точка зрения из Предисловия такова:

«Разработанный «План фундаментальных исследований РАН» должен рассматриваться как первый этап разработки прогноза научно-технологического развития страны на долгосрочную перспективу, с последующим определением на его базе приоритетных направлений развития науки, технологий и техники и формированием перечня критических технологий».

4.   Как оценить эффективность плана. Это также непонятно – как, в конце концов, можно оценивать эффективность «направлений» и тем более эффективность их выполнения. В конце концов, какие могут быть претензии к направлениям?

Академическая точка зрения такова:

«Как показывает мировой опыт, государственные органы власти избегают вмешиваться  в конкретное планирование фундаментальных исследований, предоставляя это право научному сообществу. Со своей стоны государство оказывает максимальную поддержку проведению исследований по выбранным научным направлениям, обеспечивая их необходимыми финансами (до 100%), предоставляя налоговые льготы и.т.д.

5.   Что делать? Можно было бы и не проявлять такой критичности по отношению к этому документу, но есть веские причины именно для постановки резких акцентов.  Далеко позади остались кажущиеся сейчас чистыми, искренними и относительно сытыми 60-80-е годы – годы расцвета естественных наук, парадоксально инспирированные гонкой вооружений. Сейчас же все очевиднее становится кризисное состояние, по-крайней мере, так называемой фундаментальной науки. Этот кризис не российский, он широко шагает по планете. Он многолик и, к сожалению, всепроникающ,  явно или неявно, деградационно  воздействуя на все поры общества и природы.

Так вот, фундаментальная математика, являющаяся сердцевиной фундаментальной науки, фактически поставила себя вне позитивного воздействия на это самое общество, которое не сформулировало для себя ясного и сбалансированного образа будущего. Общество не понимает, по-большому счету, зачем ему нужна эта недоступная для понимания математика. И не вина его в этом, а проблема.

Но здоровой части общества все-таки интересно, чем занимаются «фундаментальные» ученые. А эти «высоколобые» в свою очередь объяснить не могут, что они делают. Может и хотели бы, но почему-то не могут, а часто и не хотят. А это действительно непросто – доходчиво и достаточно правдиво рассказывать людям без многолетнего специального образования  о современной науке.

Что делать?  Сегодня, как нам кажется, надо «идти в народ» и объяснятся с ним напрямую. Это действительно надо делать, хотя поначалу даже непонятно как. И есть, конечно, некоторый дискомфорт в этом для ученых, непривыкших бороться за себя и свою любимую науку – надо себя ломать. Но время этому пришло и в этом шанс фундаментальной науки – ведь здравым людям она действительно интересна. Альтернатива состоит в том, чтобы продолжать убеждать материально сориентированное (или дезориентированное) общество в своей значимости, не предоставляя ему никаких реальных аргументов. Это похоже на самообман, на медленное самоубийство и, заодно, на косвенное убийство осмысленной перспективы подслеповатого общества.

Вот точка зрения Академии наук на эту тему из Предисловия:

«Утвержденные Президентом Российской Федерации «Основы политики Российской Федерации в области развития науки и технологий на период до 2010 года и дальнейшую перспективу» числу высших приоритетов государства. Что касается фундаментальной науки, то она признана стратегическим приоритетом развития общества.

Однако ограниченные объемы финансирования отечественной науки не позволяют в настоящее время осуществлять поддержку исследовательских работ по всему тематическому спектру фундаментальной науки.

В связи с этим выбор направлений фундаментальных исследований должен в максимальной степени соотносится с приоритетами социально-экономического развития страны и опираться прежде всего на те области, где отечественная наука имеет возможности получить результаты мирового уровня.

Принимая во внимание, что стратегической целью экономической политики государства является построение экономики знаний  задачей фундаментальной науки является создание необходимой системы знаний, содействие  достижению национальной цели Российской Федерации – построение сильной, экономически развитой, просвещенной России, обеспечивающей своим гражданам достойную жизнь и безопасность и способной играть ведущую роль в развитии мировой цивилизации».

6. Что хорошо. Заведомо хорошо, по-крайней мере то, что «план» есть – значит есть, хотя бы что обсуждать и над чем думать.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
Loading...

Главные новости

12:31 Минфин решил повысить цену ОСАГО для нарушителей
12:10 Суд отправил призывавшего создать государство внутри России активиста лечиться
11:31 Володин объявил о победе над прогулами среди депутатов Госдумы
11:08 «Нафтогаз» подал в Гаагу иск против России на 5 млрд долларов
11:04 Совы сипухи не теряют слух с возрастом
10:52 Актер Морган Фриман записал видеообращение против «российской угрозы»
10:46 Роскомнадзор предупредил операторов связи об опасности серверов Google
10:30 СМИ узнали причину задержания лидера «Христианского государства — Святой Руси»
10:20 Госдеп намерен ужесточить правила выдачи повторных виз в США
10:15 Сирийский генерал рассказал о туннельной войне под Дамаском
10:04 Делегация России покинула зал Генассамблеи ООН перед речью президента Литвы
09:43 По меньшей мере 226 человек погибли при землетрясении в Мексике
09:40 Из-за звонков о бомбах за день было эвакуировано 100 тысяч россиян
19.09 21:00 В жилом доме в Санкт-Петербурге произошел взрыв газа
19.09 20:30 Брат шведского короля запустит производство вина на крымском заводе «Массандра»
19.09 20:03 Главком ВДВ попал в реанимацию после ДТП в Мурманской области
19.09 19:47 Суд отклонил иск Ильдара Дадина к ФСИН и карельской колонии
19.09 19:23 Отец сбитого в Балашихе мальчика подал в СК заявление на экспертов
19.09 19:01 Порошенко назвал три мифа о поставках оружия на Украину
19.09 18:44 Трамп пригрозил «полностью уничтожить» Северную Корею
19.09 18:17 «АвтоВАЗ» назвал цену новой Lada Vesta SW
19.09 17:59 Путин поручил довести точность ГЛОНАСС до американской GPS
19.09 17:41 Россия уступила Китаю мировое лидерство по производству черной икры
19.09 17:25 Анализ птичьих песен позволил выделить 21 новый вид
19.09 17:02 В Варшаве неизвестные осквернили кладбище советских солдат
19.09 16:47 Украина начислила российским авиакомпаниям штрафы за полеты в Крым
19.09 16:15 Хворостовский отменил концерт в Москве из-за болезни
19.09 15:55 «Почта России» запустит пилотный проект по доставке посылок дронами
19.09 15:43 Задержан убийца чемпиона мира по спортивной ходьбе
19.09 15:37 Машинное обучение помогло моделировать межатомные взаимодействия
19.09 15:31 Сотрудники Роскомнадзора сдают по рублю за каждое нецензурное слово
19.09 15:06 За год 80% госконтрактов в России получили менее 3% поставщиков
19.09 14:46 Саакашвили не сможет обжаловать лишение гражданства Украины
19.09 14:25 Силовики нашли источник «телефонных атак» на Россию в Брюсселе
19.09 14:08 Суд удовлетворил иск к Навальному из-за фильма «Он вам не Димон»
19.09 13:41 Минэнерго решило обязать россиян ставить только «умные» электросчетчики
19.09 13:40 Ротовая полость древних земноводных содержала тысячи крошечных зубов
19.09 13:20 Минобороны опровергло пуск ракет по зрителям на учениях «Запад-2017»
19.09 12:56 Алексей Учитель опроверг отмену показа «Матильда» в Петербурге
19.09 12:36 Одному из оправданных по «делу 2 мая» проломили голову под Одессой
19.09 12:31 Звезда Регул светит поляризованным светом
19.09 12:05 СМИ анонсировали «националистическую» речь Трампа на Генассамблее ООН
19.09 11:38 ФАС отказалась продлить срок отмены внутреннего роуминга
19.09 11:14 Лидер Мьянмы пообещала пустить беженцев-рохинджа в страну
19.09 10:49 В Москве от ножевого ранения умер чемпион мира по спортивной ходьбе
19.09 10:31 МВД сообщило о ликвидации крупнейшего в рунете магазина наркотиков
19.09 10:10 Суд в России впервые отозвал право на «дальневосточный гектар»
19.09 09:55 Умер первый в СССР профессор политологии Виктор Кременюк‍
19.09 09:34 СМИ анонсировали предъявление обвинения главе избирательной кампании Трампа
19.09 09:21 Россия не поддержала предложенную Трампом реформу ООН
Apple Boeing Facebook Google IT NATO PRO SCIENCE видео ProScience Театр Pussy Riot Twitter аварии на железной дороге авиакатастрофа Австралия Австрия автопром администрация президента Азербайджан акции протеста Александр Лукашенко Алексей Кудрин Алексей Навальный Алексей Улюкаев алкоголь амнистия Анатолий Сердюков Ангела Меркель Антимайдан Армения армия Арсений Яценюк археология астрономия атомная энергия аукционы Афганистан Аэрофлот баллистические ракеты банковский сектор банкротство Барак Обама Башар Асад Башкирия беженцы Белоруссия Белый дом Бельгия беспорядки бизнес биология ближневосточный конфликт бокс болельщики «болотное дело» большой теннис Борис Немцов Бразилия ВВП Великая Отечественная война Великобритания Венесуэла Верховная Рада Верховный суд взрыв взятка видеозаписи публичных лекций «Полит.ру» видео «Полит.ру» визовый режим Виктор Янукович вирусы Виталий Мутко «ВКонтакте» ВКС Владивосток Владимир Жириновский Владимир Маркин Владимир Мединский Владимир Путин ВМФ военная авиация Волгоград ВТБ Вторая мировая война вузы выборы выборы губернаторов выборы мэра Москвы газовая промышленность «Газпром» генетика Генпрокуратура Германия ГИБДД ГЛОНАСС Голливуд гомосексуализм госбюджет Госдеп Госдума госзакупки гражданская авиация Греция Гринпис Грузия гуманитарная помощь гуманитарные и социальные науки Дагестан Дальний Восток деньги День Победы дети Дмитрий Медведев Дмитрий Песков Дмитрий Рогозин доллар Домодедово Дональд Трамп Донецк допинг дороги России драка ДТП Евгения Васильева евро Евровидение Еврокомиссия Евромайдан Евросоюз Египет ЕГЭ «Единая Россия» Екатеринбург ЕСПЧ естественные и точные науки ЖКХ журналисты Забайкальский край закон об «иностранных агентах» законотворчество здравоохранение в России землетрясение «Зенит» Израиль Индия Индонезия инновации Интервью ученых интернет инфляция Ирак Ирак после войны Иран Иркутская область искусство ислам «Исламское государство» Испания история История человечества Италия Йемен Казань Казахстан казнь Калининград Камчатка Канада Киев кино Киргизия Китай Климат Земли, атмосферные явления КНДР Книга. Знание Компьютеры, программное обеспечение кораблекрушение коррупция космодром Восточный космос КПРФ кража Краснодарский край Красноярский край кредиты Кремль крушение вертолета Крым крымский кризис Куба культура Латвия ЛГБТ ЛДПР Левада-Центр легкая атлетика лесные пожары Ливия лингвистика Литва литература Лондон Луганск Малайзия МВД МВФ медиа медицина междисциплинарные исследования Мексика Мемория метро мигранты МИД России Минздрав Минкомсвязи Минкульт Минобороны Минобрнауки Минтранспорта Минтруд Минфин Минэкономразвития Минюст мировой экономический кризис «Мистраль» Михаил Саакашвили Михаил Ходорковский МКС Молдавия Мосгорсуд Москва Московская область мошенничество музыка МЧС наводнение Надежда Савченко налоги нанотехнологии наркотики НАСА наука Наука в современной России «Нафтогаз Украины» недвижимость некоммерческие организации некролог Нерусский бунт нефть Нигерия Нидерланды Нобелевская премия Новосибирск Новые технологии, инновации Новый год Норвегия Нью-Йорк «Оборонсервис» образование обрушение ОБСЕ общественный транспорт общество ограбление Одесса Олимпийские игры ООН оппозиция опросы оружие отставки-назначения Пакистан палеонтология Палестинская автономия Папа Римский Париж ПДД педофилия пенсионная реформа Пентагон Петр Порошенко пищевая промышленность погранвойска пожар полиция Польша похищение права человека правительство Право правозащитное движение «Правый сектор» преступления полицейских преступность Приморский край происшествия публичные лекции Рамзан Кадыров РАН Революция в Киргизии Реджеп Эрдоган рейтинги религия Реформа армии РЖД ритейл Роскомнадзор Роскосмос Роспотребнадзор Россельхознадзор Российская академия наук Россия Ростов-на-Дону Ростовская область РПЦ рубль русские националисты РФС Санкт-Петербург санкции Саудовская Аравия Сахалин Сбербанк Свердловская область связь связь и телекоммуникации Севастополь сельское хозяйство сепаратизм Сербия Сергей Лавров Сергей Собянин Сергей Шойгу Сирия Сколково Славянск Следственный комитет следствие смартфоны СМИ Совбез ООН Совет по правам человека Совет Федерации сотовая связь социальные сети социология Социология в России Сочи Сочи 2014 «Спартак» спецслужбы «Справедливая Россия» спутники СССР Ставропольский край стихийные бедствия Стихотворения на случай страхование стрельба строительство суды суицид США Таджикистан Таиланд Татарстан театр телевидение телефонный терроризм теракт терроризм технологии транспорт туризм Турция тюрьмы и колонии убийство УЕФА Украина Условия труда ФАС Федеральная миграционная служба физика Филиппины Финляндия ФИФА фондовая биржа фоторепортаж Франсуа Олланд Франция ФСБ ФСИН ФСКН футбол Хабаровский край хакеры Харьков Хиллари Клинтон химическое оружие хоккей хулиганство Центробанк ЦИК Цикл бесед "Взрослые люди" ЦСКА Челябинская область Чехия Чечня ЧМ-2018 шахты Швейцария Швеция школа шоу-бизнес шпионаж Эбола Эдвард Сноуден экология экономика экономический кризис экстремизм Эстония Южная Корея ЮКОС Юлия Тимошенко ядерное оружие Япония

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129090, г. Москва, Проспект Мира, дом 19, стр.1, пом.1, ком.5
Телефон: +7 495 980 1894.
Стоимость услуг Полит.ру
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003г. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2014.