Полiт.ua Государственная сеть Государственные люди Войти
17 декабря 2017, воскресенье, 11:23
Facebook Twitter LiveJournal VK.com RSS

НОВОСТИ

СТАТЬИ

АВТОРЫ

ЛЕКЦИИ

PRO SCIENCE

СКОЛКОВО

РЕГИОНЫ

08 апреля 2010, 23:48

Задачки от Гулливера, или Геометрия подобия в романах Джонатана Свифта

Наука и жизнь

В романе Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» главный герой Лемюэль Гулливер совершает четыре увлекательных путешествия. Отплывая каждый раз из вполне конкретного, реально существующего на карте портового города, он неожиданно попадает в диковинные страны. Сначала он оказывается в Лилипутии, где живут крошечные люди, а все окружающие предметы в 12 раз меньше обычных. Затем он попадает в государство Бробдингнег, населённое, напротив, людьми-великанами. Третье путешествие Гулливер совершает на летающий остров Лапуту, а четвёртое — в страну гуингнмов, где миром правят лошади. «Полит.ру» публикует статью кандидата педагогических наук Натальи Карпушиной, посвященную роли геометрии в романе. В статье автор рассуждает о том, почему для Свифта так важна идея подобия, а также предлагает любопытные задачи по мотивам первых двух путешествий Гулливера. Материал опубликован в журнале «Наука и жизнь» (2010. №3).

Несомненно, философы правы, утверждая, что понятия великого и малого суть понятия относительные.
Д. Свифт. Путешествие в Бробдингнег

ДЮЙМ ПРОТИВ ФУТА

В стране лилипутов английскому футу соответствовал дюйм. Это означает, что все её обитатели и окружавшие их предметы были в 12 раз меньше тех, что окружают нас, по высоте, толщине и т.д. Вот что поведал главный герой:

«Средний рост туземцев немного меньше шести дюймов, и ему точно соответствует рост как животных, так и растений: например, лошади и быки не бывают там выше четырёх или пяти дюймов, а овцы выше полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью, и так далее вплоть до самых крохотных созданий… Самые высокие деревья в Лилипутии не больше семи футов… Вся остальная растительность имеет соответственные размеры…»

В глазах Гулливера столица Лилипутии, куда его доставили по велению императора, походила на театральную декорацию, а окружавшая город местность казалась одним большим цветущим садом. Выражаясь языком геометрии, миниатюрный мир лилипутов, детально описанный Свифтом, был подобен миру Гулливера.

ТОЧНЫЙ РАСЧЁТ

Из воспоминаний Гулливера:

«…по приказанию императора для меня была изготовлена постель. Ко мне были привезены шестьсот матрацев обыкновенной [для лилипутов] величины; сто пятьдесят штук были сшиты вместе, и таким образом образовался один матрац, подходящий для меня в длину и ширину; четыре таких матраца положили один на другой, но, несмотря на это, моя постель была немногим мягче гладкого каменного пола. По такому расчёту были сделаны также простыни, одеяла и покрывала…»

Вычисления показывают: на изготовление матраца для Гулливера требовалось 122 × 4 = 576 лилипутских матрацев, а не 600, как указал автор (очевидно, «ошибка» продиктована стремлением Свифта упростить расчёты и округлить ответ). Согласимся и с тем, что постель была слишком жёсткой, ведь матрац оказался втрое тоньше, чем полагалось его сделать.

Далее герой сообщает:

«…в последнем пункте условий моего освобождения император постановляет выдавать мне еду и питьё в количестве, достаточном для прокормления 1728 лилипутов».

Всё верно: за один приём пищи Гулливер должен был съедать и выпивать в 123 = 1728 раз больше лилипута. В книге рассказывается, как проводился этот расчёт:

«Спустя некоторое время я спросил у одного моего придворного друга, каким образом была установлена такая точная цифра. На это он ответил, что математики его величества, определив высоту моего роста... и найдя, что эта высота находится в таком отношении к высоте лилипута, как двенадцать к единице, пришли к заключению, что объём моего тела равен по крайней мере объёму 1728 тел лилипутов, а следовательно, оно требует во столько же раз больше пищи».

СМЫШЛЁНЫЕ БЕЛОШВЕЙКИ

Как видим, лилипуты неплохо разбирались в геометрии и умело применяли её законы на практике. Достоин упоминания, например, оригинальный способ, с помощью которого белошвейки сняли с Гулливера мерки, чтобы сшить для него бельё.

«Они смерили большой палец [моей] правой руки и этим ограничились. Посредством математического расчёта, основанного на том, что окружность кисти вдвое больше длины пальца, окружность шеи вдвое больше окружности кисти, а окружность талии вдвое больше окружности шеи, и при помощи старой моей рубахи, которую я разостлал на земле перед ними как образец, они сшили мне бельё вполне по росту».

Описанный способ — ещё одно свидетельство смышлёности лилипутов и их познаний в области математики — вполне применим на практике. Указанное соотношение размеров перечисленных частей тела человека весьма близко к действительному, а длина большого пальца руки Гулливера справедливо была выбрана белошвейками в качестве единицы измерения. К тому же этот способ чрезвычайно прост, поскольку требует снятия всего одной мерки.

ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ И БЛЕСТРЕГ

В систему мер, принятую в Лилипутии, входили как минимум три единицы длины. Самая мелкая из них — дрерр. О ней в разговоре с Гулливером упомянул главный секретарь по тайным делам государства:

«Вы, должно быть, заметили, что каблуки на башмаках его величества на один дрерр ниже, чем у всех придворных (дрерр равняется четырнадцатой части дюйма)».

О второй единице длины герой услышал от местных моряков. Перед тем как отправиться вплавь к берегам империи Блефуску, отделённой от Лилипутии проливом, Гулливер поинтересовался его глубиной. И вот что узнал:

«…[моряки] сообщили мне, что при высокой воде глубина в средней части пролива равняется семидесяти глюмглеффам, что составляет около шести европейских футов».

Наконец, наиболее крупная единица длины встретилась герою в документе, содержавшем условия его освобождения. В бумаге отмечалось, что владения «могущественнейшего императора Лилипутии, отрады и ужаса вселенной» охватывают в окружности пять тысяч блестрегов, или около двенадцати миль.

Задача. Выразите дрерр, глюмглефф и блестрег в единицах метрической системы мер. Определите примерные размеры и площадь государства лилипутов, а также его столицы, которая, по словам Гулливера, в плане имела форму правильного четырёхугольника и была окружена стеной со стороной, равной пятистам футам.

ШАГ ИСПОЛИНА

В своём следующем путешествии герой Свифта попал в страну великанов. В ней дюйму соответствовал фут, поэтому все люди, животные, растения и вещи в 12 раз превосходили по размеру наши земные. В сравнении с жителями Бробдингнега Гулливер выглядел лилипутом. Карлик королевы, ниже которого не было человека во всей стране, — и тот казался рядом с ним огромного роста.

Как вспоминал позже Гулливер, при первой встрече с исполинами его охватили смятение и ужас. Спасаясь бег-ством, он укрылся в поле среди стеблей ячменя, но едва не погиб под ногами одного из великанов. Дадим слово самому герою:

«…один из жнецов подошёл на десять ярдов к борозде, в которой я лежал; испугавшись, что при следующем его шаге я буду растоптан или разрезан пополам серпом, я завопил, что есть мочи».

Но может, Гулливер преувеличил от страха угрожавшую ему опасность?

Задача. По оценке Гулливера, длина шага великана составляла десять ярдов. Так ли это? Ему действительно было от чего запаниковать?

ПРОТЯЖЕНИЕ ГОРОДА

Помните ли вы, как Гулливер определил размеры столицы страны великанов? Читаем в «Путешествии в Бробдингнег»:

«Город расположен по обоим берегам пересекающей его реки. Он тянется в длину на три глонглюнга (около пятидесяти четырёх английских миль), а в ширину — на два с половиной глонглюнга. Я лично произвёл эти измерения на карте, составленной по приказанию короля и нарочно для меня разложенной на земле, где она занимала пространство в сто футов[1]. Разувшись, я прошёл несколько раз по диаметру окружности карты, сосчитал число моих шагов и без труда определил по масштабу протяжение города».

Задача. На чём основан описанный способ измерения? Как в данном случае применяется идея подобия?

БАШНЯ ВЕЛИКАНОВ

Рассказывая о достопримечательностях столицы Бробдингнега, Гулливер замечает:

«Мне очень хотелось посетить главный храм и особенно возвышавшуюся над ним башню, которая считалась самой высокой в королевстве… Однако я, признаться, разочаровался в своих ожиданиях, так как высота башни была не более трёх тысяч футов, считая от основания до вершины; следовательно, если принять во внимание разницу в росте европейца и туземца, башня эта не представляла собой ничего достойного удивления, ибо (если память не изменяет мне) она далеко не достигала высоты колокольни в Солсбери[2], в соответствующей пропорции».

Задача. На сколько футов (разумеется, в соответствующей пропорции) постройка великанов была ниже колокольни в городе Солсбери, высота которой равна 404 футам?

***

Подобие — преобразование пространства, при котором линейные размеры фигур изменяются в одном и том же отношении, то есть умножаются на одно и то же число К, называемое коэффициентом подобия. Соответственно отношение линейных размеров подобных фигур равно К, отношение площадей — К2, а отношение объёмов — К3.

1 дюйм равен 1/12 фута, или 2,54 см.

1 ярд равен 3 футам, или 0,914 м.

Ответы:

С учётом того, что во всех рассмотренных задачах речь идёт о чисто геометрических расчётах, ответы будут следующие.

ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ И БЛЕСТРЕГ

1 дрерр = 2,54 : 14 ≈ 0,18 см = 1,8 мм, 1 глюмглефф= = 30,48×6 : 70 ≈ 2,61 см, 1 блестрег = 1,609344 ×12 : 5000 ≈ 0,00386 км = 3,86 м. (Напоминаем: 1 миля = = 1,609344 км.)

Из документа ясно, что территория Лилипутии была ограничена окружностью длиной 12 миль. Радиус этой окружности равен (12 × 1,609344) : (2 × 3,14) ≈ 3,1км. Следовательно, площадь государства составляла 3,14 × 3,12 ≈ 30,2 км2. Что касается столицы, то в плане она имела форму квадрата со стороной 500 × 0,3048 = 152,4 м и занимала площадь 152,42 ≈ 23 230 м2 ≈ 0,023 км2.

ШАГ ИСПОЛИНА

При ходьбе длина шага взрослого мужчины составляет в среднем 75—80 см, тогда у великана она должна быть в 12 раз больше, а именно 9—9,6 м, что вполне соответствует указанной Гулливером (10 ярдов = 9,144 м). Ещё шаг — и великан наступил бы прямо на него!

ПРОТЯЖЕНИЕ ГОРОДА

Карта — плоское, уменьшенное во много раз изображение города. Её масштаб играет роль коэффициента подобия. Измерив по карте протяжённость города в разных направлениях и увеличив её в указанное в масштабе число раз, можно легко вычислить истинные размеры города.

БАШНЯ ВЕЛИКАНОВ

В мире Гулливера высота башни составила бы 3000 : 12 = 250 футов (76,2 м), что на 154 фута (почти на 40%) меньше, чем высота колокольни в Солсбери. Разница довольно ощутимая! С другой стороны, башню никак не назовешь низкой. Для сравнения: высота Пизанской башни — 56,7 м, колокольни Ивана Великого — 81 м, кампанилы Джотто — 84 м.

Рисунки Жана Гранвиля выполнены в 1838 году (из книги Д. Свифта «Путешествие Гулливера». — М.: Огиз, 1947).

 

[1]Имеются в виду, конечно, квадратные футы. Перевод неточен.

[2]Речь идёт о башне местного кафедрального собора с самым высоким в Британии шпилем.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus

Главные новости

11:15 СМИ рассказали о затрате Пентагоном 20 млн долларов на изучение НЛО
10:52 В Финляндии возбуждено дело после публикации данных о контроле разведки над интернетом
10:20 Представители Трампа обвинили спецпрокурора по РФ в незаконном получении документов
09:53 Завершилось голосование по названию моста в Крым
09:34 В Москве побит абсолютный температурный рекорд с 1879 года
09:24 Источник рассказал о переносе с Байконура пилотируемых пусков
09:12 В Дагестане силовики вступили в бой с боевиками
16.12 22:07 Курс биткоина превысил 19 тысяч долларов и вернулся обратно
16.12 21:03 СМИ узнали о «мирном» письме Саакашвили к Порошенко
16.12 19:56 Собчак заявила о готовности не участвовать в выборах
16.12 19:45 ПАРНАС отказался от выдвижения своего кандидата в президенты
16.12 19:28 Галерея-банкрот потребовала 27 млн рублей из Фонда храма Христа Спасителя
16.12 19:14 Российский биатлонист принес сборной первую медаль Кубка мира
16.12 17:07 Володин призвал власти РФ и Белоруссии уравнять граждан в правах
16.12 16:18 Фигуранта дела о контрабанде алкоголя нашли убитым в Ленобласти
16.12 15:13 Экс-сотрудник ФСБ отверг обвинения в хакерских атаках против США
16.12 15:11 Украина составила план покорения Крыма телевидением
16.12 14:07 Ученые из США выложили в сеть видео с ядерным испытанием
16.12 13:55 Овечкина признали одним из величайших игроков в истории НХЛ
16.12 13:12 Борис Джонсон снялся в «рекламе» сока с Фукусимы
16.12 12:53 Глава Минтруда анонсировал выделение 49 млрд рублей на ясли
16.12 11:40 В Москве мошенники забрали 20 млн рублей у покупателя биткоинов
16.12 11:29 Норвегия первой в мире «похоронила» FM-радио
16.12 10:51 Российские военные обвинили США в подготовке «Новой сирийской армии» боевиков
16.12 10:00 Россия вложила в госдолг США 1,1 млрд долларов за месяц
16.12 09:51 Собянин позвал москвичей оценить новогоднюю подсветку
16.12 09:21 Трамп включит «агрессию» КНР в стратегию нацбезопасности
15.12 21:08 Отца предполагаемых организаторов теракта в метро Петербурга выслали в Киргизию
15.12 20:57 Майкл Джордан назван самым высокооплачиваемым спортсменом всех времен
15.12 20:36 Вероника Скворцова обсудила с Элтоном Джоном борьбу с ВИЧ
15.12 20:23 Полиция открыла огонь по мужчине с ножом в аэропорту Амстердама
15.12 20:07 Falcon 9 отправила груз на МКС и вернулась на космодром в США
15.12 19:47 В Пентагоне рассказали о новом сближении с российской авиацией в Сирии
15.12 19:44 ЦБ оценил объем докапитализации Промсвязьбанка в 100-200 млрд рублей
15.12 19:27 Пожизненно отстраненная от Игр скелетонистка Елена Никитина выиграла ЧЕ
15.12 19:18 Косово объявило о создании собственной армии к марту 2018 года
15.12 19:03 В Назарете отменили Рождество
15.12 18:51 В Испании не поверили в угрозу отстранения от ЧМ-2018
15.12 18:35 Программу безопасности на дорогах увеличили на 2 млрд рублей
15.12 18:25 ФАС проверит частичную отмену роуминга сотовыми операторами
15.12 18:25 РФ и Египет подписали соглашение о возобновлении авиасообщения
15.12 18:19 Трамп попросил у России помощи с КНДР
15.12 18:03 Курс биткоина приблизился к 18 тысячам долларов
15.12 17:54 Промсвязьбанк сообщил о проблемах в работе интернет-банка
15.12 17:48 ФИФА пригрозила отстранить сборную Испании от ЧМ-2018 из-за действий властей
15.12 17:28 Задержанный в Петербурге планировал взорвать Казанский собор
15.12 17:25 Промпроизводство в РФ в ноябре упало максимальными темпами за 8 лет
15.12 17:01 Турция потребует в ООН отменить решение США по Иерусалиму
15.12 16:43 В посольстве США назвали ложью обвинение во вмешательстве в российскую политику
15.12 16:33 Букингемский дворец назвал дату свадьбы принца Гарри
Apple Boeing Facebook Google iPhone IT NATO PRO SCIENCE видео ProScience Театр Pussy Riot Twitter Абхазия аварии на железной дороге авиакатастрофа Австралия Австрия автопром администрация президента Азербайджан акции протеста Александр Лукашенко Алексей Кудрин Алексей Навальный Алексей Улюкаев алкоголь амнистия Анатолий Сердюков Ангела Меркель Антимайдан Аргентина Аркадий Дворкович Арктика Армения армия Арсений Яценюк археология астрономия атомная энергия аукционы Афганистан Аэрофлот баллистические ракеты банковский сектор банкротство Барак Обама Башар Асад Башкирия беженцы Белоруссия Белый дом Бельгия беспорядки биатлон бизнес биология ближневосточный конфликт бокс болельщики «болотное дело» большой теннис Борис Немцов борьба с курением Бразилия Валентина Матвиенко вандализм Ватикан ВВП Великая Отечественная война Великобритания Венесуэла Верховная Рада Верховный суд взрыв взятка видеозаписи публичных лекций «Полит.ру» видео «Полит.ру» визовый режим Виктор Янукович вирусы Виталий Мутко «ВКонтакте» ВКС Владивосток Владимир Жириновский Владимир Маркин Владимир Мединский Владимир Путин ВМФ военная авиация Волгоград ВТБ Вторая мировая война вузы ВЦИОМ выборы выборы губернаторов выборы мэра Москвы Вячеслав Володин гаджеты газовая промышленность «Газпром» генетика Генпрокуратура Германия ГИБДД ГЛОНАСС Голливуд гомосексуализм госбюджет Госдеп Госдума госзакупки гражданская авиация Греция Гринпис Грузия гуманитарная помощь гуманитарные и социальные науки Дагестан Дальний Восток декларации чиновников деньги День Победы дети Дмитрий Медведев Дмитрий Песков Дмитрий Рогозин доллар Домодедово Дональд Трамп Донецк допинг дороги России драка ДТП Евгения Васильева евро Евровидение Еврокомиссия Евромайдан Евросоюз Египет ЕГЭ «Единая Россия» Екатеринбург ЕСПЧ естественные и точные науки ЖКХ журналисты Забайкальский край закон об «иностранных агентах» законотворчество здравоохранение в России землетрясение «Зенит» Израиль Ингушетия Индия Индонезия инновации Интервью ученых интернет инфляция Ирак Ирак после войны Иран Иркутская область искусство ислам «Исламское государство» Испания история История человечества Италия Йемен Казань Казахстан казнь Калининград Камчатка Канада Киев кино Киргизия Китай климат Земли КНДР Книга. Знание Компьютеры, программное обеспечение Конституционный суд Конституция кораблекрушение коррупция космодром Восточный космос КПРФ кража Краснодарский край Красноярский край кредиты Кремль крушение вертолета Крым крымский кризис Куба культура Латвия ЛГБТ ЛДПР Левада-Центр легкая атлетика Ленинградская область лесные пожары Ливия лингвистика Литва литература Лондон Луганск Малайзия Мария Захарова МВД МВФ медиа медицина междисциплинарные исследования Мексика Мемория метро мигранты МИД России Минздрав Минкомсвязи Минкульт Минобороны Минобрнауки Минсельхоз Минтранспорта Минтруд Минфин Минэкономразвития Минэнерго Минюст «Мистраль» Михаил Саакашвили Михаил Ходорковский МКС мобильные приложения МОК Молдавия Мосгорсуд Москва Московская область мошенничество музыка Мурманская область МЧС наводнение Надежда Савченко налоги нанотехнологии наркотики НАСА наука Наука в современной России «Нафтогаз Украины» недвижимость некоммерческие организации некролог Нерусский бунт нефть Нигерия Нидерланды Нобелевская премия Новосибирск Новые технологии, инновации Новый год Норвегия Нью-Йорк «Оборонсервис» образование обрушение ОБСЕ общественный транспорт общество ограбление Одесса Олимпийские игры ООН ОПЕК оппозиция опросы оружие отставки-назначения офшор Пакистан палеонтология Палестинская автономия Папа Римский Париж ПДД педофилия пенсионная реформа Пентагон Петр Порошенко пищевая промышленность погранвойска пожар полиция Польша похищение Почта России права человека правительство Право правозащитное движение православие «Правый сектор» преступления полицейских преступность Приморский край Продовольствие происшествия публичные лекции Рамзан Кадыров РАН Революция в Киргизии Реджеп Эрдоган рейтинги религия Республика Карелия Реформа армии РЖД ритейл Роскомнадзор Роскосмос «Роснефть» Роспотребнадзор Россельхознадзор Российская академия наук Россия Ростов-на-Дону Ростовская область РПЦ рубль русские националисты РФС Санкт-Петербург санкции Саудовская Аравия Сахалин Сбербанк Свердловская область связь связь и телекоммуникации Севастополь сельское хозяйство сепаратизм Сербия Сергей Лавров Сергей Полонский Сергей Собянин Сергей Шойгу Сирия Сколково Славянск Следственный комитет следствие смартфоны СМИ Совбез ООН Совет по правам человека Совет Федерации сотовая связь социальные сети социология Социология в России Сочи Сочи 2014 «Спартак» спецслужбы «Справедливая Россия» спутники СССР Ставропольский край стихийные бедствия Стихотворения на случай страхование стрельба строительство суды суицид Счетная палата США Таджикистан Таиланд Татарстан театр телевидение телефонный терроризм теракт терроризм технологии Трансаэро транспорт туризм Турция тюрьмы и колонии убийство уголовный кодекс УЕФА Узбекистан Украина Условия труда фармакология ФАС ФБР Федеральная миграционная служба физика Филиппины Финляндия ФИФА фондовая биржа фоторепортаж Франсуа Олланд Франция ФСБ ФСИН ФСКН футбол Хабаровский край хакеры Харьков Хиллари Клинтон химическое оружие химия хоккей хулиганство цензура Центробанк ЦИК Цикл бесед "Взрослые люди" ЦРУ ЦСКА Челябинская область Чехия Чечня ЧМ-2018 шахты Швейцария Швеция школа шоу-бизнес шпионаж Эбола эволюция Эдвард Сноуден экология экономика экономический кризис экстремизм Эстония Южная Корея ЮКОС Юлия Тимошенко ядерное оружие Якутия Яндекс Япония

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129090, г. Москва, Проспект Мира, дом 19, стр.1, пом.1, ком.5
Телефон: +7 495 980 1894.
Яндекс.Метрика
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003г. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2014.