Полiт.ua Государственная сеть Государственные люди Войти
5 декабря 2016, понедельник, 05:29
Facebook Twitter LiveJournal VK.com RSS

НОВОСТИ

СТАТЬИ

АВТОРЫ

ЛЕКЦИИ

PRO SCIENCE

ТЕАТР

РЕГИОНЫ

28 сентября 2013, 16:08

Циклы времени: Новый взгляд на эволюцию Вселенной-3

Kachelstruktur
Kachelstruktur
Urs Schmid

В книге «Циклы времени: Новый взгляд на эволюцию Вселенной» Роджер Пенроуз пытается дать ответ на вопрос, что было до Большого взрыва. Введение. Глава 1.1.

1.2. Энтропия и число состояний системы

Разговор об энтропии начнем с обсуждения вопроса о том, каким образом физикам вообще удается количественно оценить столь непростой фактор, как неупорядоченность (беспорядок, хаотичность и т. п.) любой системы. Почему, собственно говоря, мы прекрасно понимаем, что разбившееся яйцо в описанном ранее примере олицетворяет хаос, а исходное яйцо — порядок? Для понимания общей концепции энтропии и смысла второго закона обратимся к рассмотрению гораздо более простых систем, например, в задаче смешивания двух красок в растворе.

Предположим, что мы наливаем в сосуд две жидкие краски (красного и синего цвета) и тщательно перемешиваем их. Смесь будет постепенно менять цвет, приобретая пурпурную окраску, и это означает, что отдельные комочки разных красок разрушаются (вплоть до уровня отдельных молекул с характерным цветом) и теряют свою индивидуальность, в результате чего смесь становится однородной. На микроскопическом уровне все физические процессы перемешивания красок, безусловно, обратимы во времени, но никакое дальнейшее перемешивание никогда не возвратит систему к исходному состоянию. Для пояснения отметим, что механическое перемешивание и его интенсивность в этом случае не играют принципиальной роли, так как два жидких красителя в одном сосуде вполне могут смешиваться самопроизвольно (особенно при нагревании), так что само механическое перемешивание смеси лишь ускоряет процесс гомогенизации системы. С точки зрения второго закона и изменения энтропии, процесс соответствует совершенно естественному переходу от исходного состояния (система с отдельными красителями, где величина энтропии относительно невелика) к конечному состоянию с беспорядочно перемешанными молекулами красителей, в результате чего энтропия должна существенно возрасти. Описанная простая ситуация с перемешиванием молекул красок не только явно демонстрирует действие второго закона, но и позволяет глубже понять и проанализировать его смысл в целом.

Для более серьезного рассмотрения концепции энтропии необходимо тщательно изучить процессы, происходящие в системе на микроскопическом уровне, и установить, какая именно конкретная характеристика системы соответствует понятию энтропии, т. е. степени ее неупорядоченности. Собственно говоря, эта характеристика очень проста — почти элементарна, но ее определение и расчет связаны с некоторыми тонкими физико-математическими соображениями. Основную роль в разработке представлений об энтропии сыграли работы великого австрийского физика Людвига Больцмана, который и применил теорию вероятностей для расчета различных состояний физических систем. Сущность метода легко пояснить на примере рассматриваемого процесса перемешивания частиц или молекул красителей двух типов, рассчитав конкретно число всех возможных положений таких молекул при перемешивании.

 
Рис. 1.2. Кубический объем из N ячеек, каждая из которых может содержать только один (красный или синий) шарик

Предположим, что число молекул в системе очень велико (но не бесконечно!), а сами молекулы моделируются микроскопическими шариками (красного и синего цвета). Каждый шарик может занимать лишь дискретное положение в центре крошечного кубика (назовем его клеткой, или ячейкой, или отсеком). На такие кубики разделен объем системы, как показано на рис. 1.2. Для упрощения расчетов также положим (хотя это и не играет принципиального значения), что в соответствии с рисунком система имеет форму огромного куба, состоящего из N3 = N × N × N таких отсеков, каждый из которых, повторю, вмещает только одну молекулу красителя.

 
Рис. 1.3. Кубический объем в виде решетчатого контейнера, составленного из k3 кубических ячеек, или отсеков, каждый из которых имеет объем n × n × n ячеек

Предложенная простая модель позволяет количественно оценить «цвет» какого-либо участка объема рассматриваемой системы, исходя из заполнения отдельных ячеек. Для этого усредним «окраску» участков куба по следующей схеме. Введем в рассмотрение объем некоторого куба, который, с одной стороны, намного меньше, чем весь объем системы, а с другой — значительно превышает по размерам объем отдельной ячейки. Иными словами, как показано на рис. 1.3, в этом промежуточном объеме содержится очень большое количество индивидуальных ячеек для молекул или атомов, но одновременно он намного меньше объема всей системы в целом. Длина ребра такого куба в n раз превышает длину ребра элементарной ячейки (так что он содержит n3 = n × n × n ячеек), но при этом число n (остающееся очень большим) существенно меньше общего числа N молекул в системе. Таким образом, справедливо неравенство

N >> n >> 1.

Для удобства я буду полагать (хотя это условие не играет никакой роли в расчетах), что имеется число целое k, с помощью которого можно записать простое соотношение:

N = kn,

где k3 = k × k × k соответствует полному числу микрообъемов (назовем их зернами) промежуточного размера для рассматриваемой системы.

Читатель легко поймет идею метода, который связан с подразделением системы на «отсеки» промежуточного размера, состоящие из микроскопических, атомарных ячеек. Каждая ячейка слишком мала для определения индивидуальной «окраски», но для отдельных отсеков промежуточного размера мы уже можем определить усредненный цвет исходя из соотношения красных и синих шариков внутри этого отсека или зерна. Обозначив число красных и синих шариков буквами r и b (по первым буквам английских прилагательных red и blue; а сумма r + b равняется, естественно, величине n3), мы сможем количественно оценить оттенок каждого отсека по отношению параметров r и b. Соответственно, при таком подходе можно говорить, что какой-то конкретный отсек имеет красный или синий цвет — в зависимости от того, насколько отношение параметров r/b в данном отсеке выше или ниже единицы (понятно, что при отношении r/b = 1 отсек имеет именно «равновесный», пурпурный цвет).

Будем считать, что окраска какого-то отсека (зерна) кажется нам однородно пурпурной лишь в тех редких случаях, когда соотношение r/b лежит в узких пределах от 0,999 до 1,001, т. е. соответствует точности измерений около одной десятой процента. На первый взгляд это условие представляется очень жестким и сложным (исходя из того, что оно должно выполняться для каждого из огромного числа n3 = n × n × n таких отсеков, или зерен), однако это условие иногда (при очень большом количестве шариков, в нашем случае молекул) неожиданно выполняется с удивительной легкостью! Дело в том, что в рассматриваемых системах мы сталкиваемся с проблемами распределения чрезвычайно большого, практически совершенно немыслимого числа частиц, для которых характерны необычные с практической точки зрения закономерности, и это требует правильного подбора масштабов используемых характерных параметров. Так, обычная банка краски (пример большой системы) содержит в среднем 1024 молекул, вследствие чего число N вполне может равняться 108. Если в качестве образца ячейки (отсека, или зерна, промежуточного размера) взять, например, отдельный пиксель изображения на высококачественной цветной фотографии, имеющий размеры всего 10–2 см, то в этом случае вполне разумно приписать числу k значение 103. Для приведенных величин легко рассчитать вероятности различных сочетаний в рассматриваемой нами задаче, когда требуется получить однородную пурпурную окраску из синих и красных шариков в отдельных ячейках на рис. 1.1 из смеси их равных количеств N3/2. Например, можно легко показать, что для указанных чисел N = 108 и k = 103 (для этих чисел n = 105) восприятие однородного пурпурного цвета обеспечивается примерно 1023 570000 000000 000000 000000 сочетаниями положений молекул. При этом существует всего около 1046 500000 000000 таких особых расположений молекул, при которых все синие шарики оказываются в верхней части объема, а все красные — в нижней. Таким образом, при совершенно случайном разбросе положений молекул вероятность возникновения однородной пурпурной окраски оказывается очень высокой, а вероятность обнаружения всех синих шариков вверху — ничтожно малой (всего около 10–23 570000 000000), причем эта величина почти не изменится, если мы потребуем, чтобы вверху располагались не все синие шарики, а лишь 99,9 % от их количества.

Указанная теоретическая схема позволяет нам рассматривать энтропию в качестве характеристики или меры описываемых вероятностей, иными словами, как меру вероятности расположения шариков, соответствующего одинаковой «общей окраске» или, точнее, одинаковому восприятию цвета. Учитываемые в модели количества шариков (молекул) и их возможных комбинаций не только фантастически велики, но и меняются в очень широких пределах, что крайне затрудняет их прямую запись и использование. К счастью, для оценки энтропии можно пользоваться не самими числами, а их логарифмами, которые и выступают в качестве меры энтропии. Напомню, что существуют два основных типа логарифмов (называемых десятичными и натуральными, которые обозначаются символами «lg» и «ln» соответственно), но мы будем пользоваться только десятичными.

Напомню также, что понятие логарифма связано со степенью его основания (в нашем случае основание равно 10), используемой для записи требуемого числа. Например,

lg 1 = 0; lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3; lg 10 000 = 4 и т. д.,

так что десятичные логарифмы чисел этого типа просто равны количеству нулей в их десятичной записи. Понятие логарифма очень легко обобщается на все остальные числа, и его обычно записывают в виде десятичной дроби, состоящей из так называемых целой части и мантиссы, как показано ниже (целая часть в записи выделена жирным шрифтом):

lg 2 = 0,301 029 995 66…

lg 53 = 1,724 275 869 60…

lg 9140 = 3,960 946 195 73…

и т. д.,

т. е. в форме, где целая часть всегда на единицу меньше количества десятичных разрядов в числе, логарифм которого она представляет. Важнейшая особенность логарифмирования состоит в том, что оно позволяет заменить операцию умножения любых чисел на сложение их логарифмов:

lg (ab) = lg a + lg b.

Именно это следует из приведенных примеров логарифмов для чисел, получаемых возведением 10 в некоторую степень, так как при умножении a = 10А и b = 10В можно сразу получить ab = 10А + В.

Главный смысл использования логарифмов при определении энтропии связан с тем, что при объединении систем разного типа можно просто складывать значения их энтропий, т. е. энтропия обладает свойством аддитивности. Энтропия характеризуется числом размещений элементов, из которых состоит система, поэтому если мы хотим получить значение энтропии для сложной системы, составленной из двух разных независимых частей или подсистем, то нам следует просто сложить энтропии этих частей. Именно в этом смысле концепция энтропии является аддитивной. И действительно, если первой подсистеме, например, соответствует P различных комбинаций положений элементов, а второй — Q комбинаций, то число комбинаций для объединенной, составной системы будет равно произведению PQ (поскольку каждой комбинации состояний из P для первой подсистемы соответствует число Q комбинаций для второй). Таким образом, энтропия любой системы оказывается пропорциональной логарифму числа вариантов, которыми эта система может быть реализована, что непосредственно связано с указанным свойством аддитивности энтропии, и это свойство всегда сохраняется для независимых систем.

Легко заметить некоторую неясность приводимых мной аргументов, поскольку остается неопределенным само понятие «числа вариантов, которыми может быть реализована данная система». Прежде всего эта неопределенность связана с тем, что ранее при моделировании положений молекул в системе (например, в банке с краской) предполагалось, что они могут располагаться дискретно в отдельных ячейках. Это предположение является мало реалистичным в рамках классической механики Ньютона, где, строго говоря, координаты положения молекул (или их центров, неважно) могут принимать любые значения, так что число положений является бесконечным*.

Помимо этого, следует вспомнить, что у каждой отдельной молекулы может отмечаться некоторая асимметрия, т. е. она будет иметь ориентацию и поэтому должна быть охарактеризована также своей направленностью в пространстве. Кроме того, молекулы могут обладать внутренними степенями свободы (связанными, например, с искажением формы), что также должно быть как-то учтено. Иными словами, при точном подсчете числа различных состояний или конфигураций системы нам необходимо учитывать все возможные варианты ориентации и деформации молекул, что приводит к понятию о конфигурационном пространстве системы, о котором рассказывается далее. 

 
Рис. 1.4. Конфигурационное пространство системы C из q точечных частиц c координатами p1, p2, …, pq является 3q-мерным

Система с d степенями свободы описывается конфигурационным пространством, имеющим d-измерений. Например, если система состоит из q точечных (не имеющих внутренней структуры) частиц c координатами p1, p2, …, pq, то ее конфигурационное пространство будет иметь 3q-измерений, так как положение каждой отдельной частицы полностью описывается заданием значений трех ее координат, как показано на рис. 1.4. В более сложных ситуациях (например, при наличии у частиц внутренних степеней свободы) мы должны учитывать большее число степеней свободы для каждой частицы, однако это обстоятельство никак не изменяет общую идею метода. Конечно, читателю не стоит напрягаться, воображая или «визуализируя» какое-то многомерное пространство, поскольку принципы подсчета легко понять на примере двумерного пространства (типа листа бумаги) или привычного трехмерного, в котором обычно каждый человек представляет себе происходящие события. Разумеется, сложные физические процессы протекают в пространстве большего числа измерений, о чем рассказывается далее. Кроме того, не стоит забывать, что все такие пространства представляют собой сугубо абстрактные математические понятия, так что читателю нет необходимости связывать трехмерное физическое пространство или четырехмерное физическое пространство-время с личными представлениями о них, выработанными в бытовой обстановке.

Помимо всего сказанного, предложенная попытка определения энтропии требует еще одного пояснения, которое нам придется обсудить очень серьезно. Дело в том, что ранее, при рассмотрении числа возможных конфигураций из красных и синих шариков, мы считали, что их число является конечным, хотя и очень большим. Хотя строго говоря, в механике Ньютона мы обязаны рассматривать реально бесконечное число конфигураций (поскольку параметры положения частиц представляют собой не дискретные, а непрерывные величины), и поэтому при рассмотрении многомерных объемов конфигурационного пространства нужно всегда учитывать также размеры ячеек, а не ограничиваться простым подсчетом возможного числа дискретных конфигураций.

Обсуждение смысла термина «объем» в многомерном пространстве лучше начать с определения этого понятия для небольшого числа измерений. Например, для участка двумерной кривой поверхности мерой объема может служить площадь поверхности рассматриваемого участка, а в одномерном пространстве в качестве этого объема выступает просто длина рассматриваемого участка кривой. Поэтому в n-мерном конфигурационном пространстве мы должны рассматривать n-мерные аналоги привычных трехмерных объемов.

Главный вопрос состоит в том, объемы каких, собственно, областей конфигурационного пространства нам следует измерять исходя из данного ранее определения энтропии? Согласно предложенной концепции, следует измерять объем областей этого пространства, соответствующих тому набору состояний, который является или выглядит «одинаковым» для рассматриваемой системы. Конечно, фраза «выглядит одинаково» также весьма расплывчата. Реальная проблема состоит в том, что нам необходимо отобрать некий разумный и одновременно достаточно исчерпывающий набор макроскопических параметров. Список переменных должен позволить, с одной стороны, учитывать требуемые физико-химические свойства данного состояния (распределение плотности, цвет, химический состав и т. п.), а с другой — не требовать точного вычисления или знания значений координат для каждого атома, рассматриваемой системы. Именно введение этих параметров и дает возможность выделить в системе участки, которые «выглядят одинаково», и произвести усреднение свойств системы по некоторым достаточно «одинаковым» областям, что получило позднее название крупнозернистого деления (разбиения) конфигурационного пространства C.

При этом каждый крупнозернистый участок пространства C «выглядит одинаково», т. е. описывает те состояния, которые могут рассматриваться как неразличимые при данной точности макроскопических измерений (как показано на рис. 1.5). Таким образом, вводимое деление конфигурационного пространства связано с крупнозернистым характером используемых измерений. 

 
Рис. 1.5. Крупнозернистое разбиение пространства C

Конечно, читатель сразу заметит, что упоминание точности «макроскопических» измерений делает определение еще более неясным, однако я сошлюсь на некоторую аналогию с представлением о средней окраске участков объема, который использовался ранее при описании простой модели для смеси красителей. Речь идет об одном и том же, т. е. о том, что цвет или свойства небольшого участка конфигурационного пространства для удобства расчетов могут быть усреднены, и именно объем такого участка, или крупного зерна (строго говоря, логарифм этого объема!), мы можем использовать для определения энтропии. При этом само определение энтропии остается очень нечетким, однако оно теперь позволяет удивительно простым и ясным образом производить вычисления значений этой величины, что объясняется прежде всего огромной разницей масштабов рассматриваемых систем при описываемом крупнозернистом делении объемов конфигурационного пространства.

* Отметим, что в квантовой механике ситуация выглядит не лучше хотя бы вследствие принципа неопределенности и т. п. — Прим. перев.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
Loading...
Подпишитесь
чтобы вовремя узнавать о новых спектаклях и других мероприятиях ProScience театра!
3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM iPhone MERS PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi Адыгея Александр Лавров альтернативная энергетика Анастасия Волочкова «Ангара» антибиотики античность археология архитектура астероиды астрофизика аутизм Байконур бактерии библиотека онлайн библиотеки биология биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера бозон Хиггса британское кино Византия визуальная антропология викинги вирусы Вольное историческое общество Вселенная вулканология Выбор редакции гаджеты генетика география геология геофизика глобальное потепление грибы грипп дельфины демография дети динозавры ДНК Древний Египет естественные и точные науки животные жизнь вне Земли Западная Африка защита диссертаций землетрясение зоопарк зрение Иерусалим изобретения иммунология инновации интернет инфекции информационные технологии искусственный интеллект ислам историческая политика история история искусства история России история цивилизаций История человека. История институтов исчезающие языки карикатура католицизм квантовая физика квантовые технологии КГИ киты климатология комета кометы компаративистика компьютерная безопасность компьютерные технологии космос криминалистика культура культурная антропология лазер Латинская Америка лексика лженаука лингвистика Луна мамонты Марс математика материаловедение МГУ медицина междисциплинарные исследования местное самоуправление метеориты микробиология Минобрнауки мифология млекопитающие мобильные приложения мозг моллюски Монголия музеи НАСА насекомые неандертальцы нейробиология неолит Нобелевская премия НПО им.Лавочкина обезьяны обучение общество О.Г.И. одаренные дети онкология открытия палеолит палеонтология память папирусы паразиты педагогика планетология погода подготовка космонавтов популяризация науки право преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека Протон-М психология психофизиология птицы РадиоАстрон ракета растения РБК РВК РГГУ регионоведение религиоведение рептилии РКК «Энергия» робототехника Роскосмос Роспатент русский язык рыбы сердце сериалы Сингапур сланцевая революция смертность СМИ Солнце сон социология спутники старообрядцы стартапы статистика такси технологии тигры торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология Фестиваль публичных лекций физика физиология физическая антропология фольклор химия христианство Центр им.Хруничева школа школьные олимпиады эволюция эволюция человека экология эмбриональное развитие эпидемии этика этнические конфликты этология Юпитер ядерная физика язык

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129343, Москва, проезд Серебрякова, д.2, корп.1, 9 этаж.
Телефоны: +7 495 980 1893, +7 495 980 1894.
Стоимость услуг Полит.ру
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003г. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2014.