Полiт.ua Государственная сеть Государственные люди Войти
10 декабря 2016, суббота, 17:36
Facebook Twitter LiveJournal VK.com RSS

НОВОСТИ

СТАТЬИ

АВТОРЫ

ЛЕКЦИИ

PRO SCIENCE

ТЕАТР

РЕГИОНЫ

08 октября 2013, 15:15

Простая и сложная математика

Glynn fractals
Glynn fractals
 
Партнер проекта

3 октября в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялось выступление Леона Арменовича Тахтаджяна – доктора физико-математических наук, профессора математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущего научного сотрудника Международного математического института имени Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. Его лекция называлась «Математика как форма существования».

В своем рассказе Леон Тахтаджян продемонстрировал как многие понятия, знакомые нам по каждодневной жизни и кажущиеся простыми и понятными: число, форма, размер — при более внимательном анализе демонстрируют нам неожиданную сложность. Объем краткого вступительного очерка не позволяет нам описать целиком даже отдельный раздел лекции. Поэтому мы, учитывая, что лекция всё-таки была рассчитана на восприятие более или менее подготовленных слушателей, решили немного облегчить задачу тех, кто знаком с математикой мало. Для этого на уровне ликбеза мы рассмотрим лишь одну математическую проблему, упомянутую лектором — континуум-гипотезу в теории множеств. Читатели, получившие математическое образование, могут смело переходить сразу к видеозаписи лекции Леона Арменовича.

Рассуждать о сравнении множеств удобно на примере театра. Представим себе, что в ProScience Театр приходят зрители и рассаживаются в креслах. Глядя на это глазами математика, можно сказать, что устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством кресел. Что же мы видим? Ни один человек не сидит сразу на двух креслах (математик скажет, что такое соответствие двух множеств функционально). Нет ни одного кресла, где ютились бы сразу двое (математик назовет такое соответствие инъективным). Пустых кресел не осталось (такое соответствие зовется сюръективным). И все пришедшие люди смогли сесть (значит, соответствие является всюду определенным). Если соответствие функционально, инъективно, сюръективно и всюдуопределено, его называют взаимно-однозначным соответствием. Установив взаимно-однозначное соответствие между множеством пришедших зрителей и множеством кресел, мы узнали, что в этих множествах одинаковое число элементов. Математики в таких случаях также говорят, что мощности этих множеств равны или что данные множества эквивалентны.

Пока что эти рассуждения кажутся очевидными. Посмотрим, что будет дальше. Представьте, что ProScience Театр стал настольно популярен, что для него построили новое здание, где в зрительном зале бесконечное число кресел. На выступление известного ученого пришло бесконечное число зрителей. Первый зритель сел в кресло номер один, второй – в кресло номер два, n-й – в кресло номер n и так далее. Вновь установилось взаимно-однозначное соответствие. На следующий день в театре состоялось другое выступление, в котором лектор-физик положил перед началом спектакля на кресло номер один маленькую модель Большого адронного коллайдера. Пришел первый зритель, увидел, что кресло занято, и сел в кресло номер два. Второй – в кресло номер три, третий – в кресло номер четыре, n-й – в кресло номер n+1 и так далее. Администрация театра удивлена: свободных кресел было на одно меньше, в всем зрителям хватило место.

Но однажды случилась накладка. На одно и то же время в ProScience Театр по ошибке назначили два выступления. И на каждое купило билеты бесконечное число зрителей. Пришли зрители, заняли все кресла. И тут приходит еще столько же зрителей. Куда их сажать? Администрация театра, уже знакомая с неожиданными свойствами бесконечного зрительного зала нашла выход. Обратившись к первой бесконечной группе зрителей, директор театра попросил их сесть через одного на кресла с четными номерами. Первое кресло пустует, первый зритель сел во второе кресло, третье кресло осталось пустым, второй зритель – в третье кресло, третий – в пятое, n-й – в кресло номер 2n. Все расселись. Тогда директор предложил занять места бесконечному числу зрителей, пришедших позднее. Они уселись на нечетных креслах: первом, третьем, пятом… И всем хватило мест! Выходит, в бесконечном зрительном зале мест в два раза больше, чем мы думали?

Мы смогли установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (зрителями) и множеством четных или нечетных чисел (креслами). Каким бы парадоксальным это не казалось, эти множества эквивалентны. Более того, множеству натуральных чисел эквивалентно любое его бесконечное подмножество: все числа, делящиеся на 43; все числа, заканчивающиеся на 0, простые числа, числа Фибоначчи и так далее. Ведь любое из этих множеств мы можем представить в виде последовательности элементов и перенумеровать эти элементы натуральными числами. Аристотель когда-то писал, что целое больше части. Как мы видим, в случае с бесконечными множествами это не так.

Может быть, множество целых (положительных и отрицательных) чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных? Нет, оказывается, что и эта пара множеств эквивалентна. Взаимно-однозначное соответствие устанавливается просто:

0 — 1, 1 — 2, -1 — 3, 2 — 4, -2 — 5, 3 — 6, -3 — 7 и так далее.

Тогда, может быть, все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Ответ на этот вопрос нашел немецкий математик Георг Кантор. Именно он создал теорию множеств, им введен термин «взаимно-однозначное соответствие». Ему удалось и доказать, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность натуральных. Доказательство это известно под названием канторовский диагональный процесс.

Рассмотрим действительные числа, расположенные на числовой оси между нулем и единицей. Предположим, что их множество эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть все их можно перенумеровать: а1, а2, а3, а4..., аn, … Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь конечна, то с какого-то момента все последующие знаки в нем будут нулями. Запишем наши числа в виде десятичных дробей:

а1 = 0,00132277...

а2 = 0,90367515...

а3 = 0,21597404...

а4 = 0,09708352... и так далее.

Обратите внимание на подчеркнутые цифры. Они стоят по диагонали: первая цифра после запятой у а1, вторая — у а2 и так далее. С их помощью составим новую бесконечную десятичную дробь. Причем поступим так: если у числа аn на n-ом месте стоит ноль, в новой дроби на n-ом месте поставим единицу, во всех остальных случаях на n-ом месте ставим ноль. В итоге наша дробь будет выглядеть так: 0,1101... Получившаяся дробь не будет совпадать ни с одной из имеющихся среди а1,..., аn,… С а1 у нее будет отличаться первый знак после запятой, с а2 — второй и так далее. Мы считали, что записали в последовательности все числа между 0 и 1, однако новой дроби среди них не оказалось. Значит, мы пришли к противоречию, следовательно, утверждение, что множество чисел на отрезке от 0 до 1 эквивалентно множеству натуральных чисел неверно. Понятно, что множество действительных числе также не эквивалентно натуральным.

Затем Кантор доказал другую теорему: о том, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, стали называть счетными множествами. Мощность множества действительных числе называется континуум. Как мы видим, в сторону увеличения мощность множеств может расти бесконечно: для каждого множества есть более мощное множество всех его подмножеств. Счетные же множества — самые «маленькие» из бесконечных множеств.

Тут мы и подошли к проблеме, которой заинтересовался и Георг Кантор: существуют ли множества, мощность которых больше, чем у счетных, но меньше, чем у множества действительных чисел. Это проблема получила название континуум-гипотезы. Доказать, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, Георг Кантор так и не смог. Лишь в 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом теории множеств, а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал, что и континуум-гипотеза также недоказуема в этой системе аксиом. Можно принять ее или ее отрицание как еще одну аксиому, что порождает два разных варианта теории множеств.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
Loading...
Подпишитесь
чтобы вовремя узнавать о новых спектаклях и других мероприятиях ProScience театра!
3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM iPhone MERS PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi Адыгея Александр Лавров альтернативная энергетика Анастасия Волочкова «Ангара» антибиотики античность археология архитектура астероиды астрофизика аутизм Байконур бактерии библиотека онлайн библиотеки биология биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера бозон Хиггса британское кино Византия визуальная антропология викинги вирусы Вольное историческое общество Вселенная вулканология Выбор редакции гаджеты генетика география геология геофизика глобальное потепление грибы грипп дельфины демография дети динозавры ДНК Древний Египет естественные и точные науки животные жизнь вне Земли Западная Африка защита диссертаций землетрясение зоопарк зрение Иерусалим изобретения иммунология инновации интернет инфекции информационные технологии искусственный интеллект ислам историческая политика история история искусства история России история цивилизаций История человека. История институтов исчезающие языки карикатура католицизм квантовая физика квантовые технологии КГИ киты климатология комета кометы компаративистика компьютерная безопасность компьютерные технологии космос криминалистика культура культурная антропология лазер Латинская Америка лексика лженаука лингвистика Луна мамонты Марс математика материаловедение МГУ медицина междисциплинарные исследования местное самоуправление метеориты микробиология Минобрнауки мифология млекопитающие мобильные приложения мозг моллюски Монголия музеи НАСА насекомые неандертальцы нейробиология неолит Нобелевская премия НПО им.Лавочкина обезьяны обучение общество О.Г.И. одаренные дети онкология открытия палеолит палеонтология память папирусы паразиты педагогика планетология погода подготовка космонавтов популяризация науки право преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека Протон-М психология психофизиология птицы РадиоАстрон ракета растения РБК РВК РГГУ регионоведение религиоведение рептилии РКК «Энергия» робототехника Роскосмос Роспатент русский язык рыбы сердце сериалы Сингапур сланцевая революция смертность СМИ Солнце сон социология спутники старообрядцы стартапы статистика такси технологии тигры торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология Фестиваль публичных лекций физика физиология физическая антропология фольклор химия христианство Центр им.Хруничева школа школьные олимпиады эволюция эволюция человека экология эмбриональное развитие эпидемии этика этнические конфликты этология Юпитер ядерная физика язык

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129343, Москва, проезд Серебрякова, д.2, корп.1, 9 этаж.
Телефоны: +7 495 980 1893, +7 495 980 1894.
Стоимость услуг Полит.ру
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003г. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2014.