Полiт.ua Государственная сеть Государственные люди Войти
8 декабря 2016, четверг, 23:08
Facebook Twitter LiveJournal VK.com RSS

НОВОСТИ

СТАТЬИ

АВТОРЫ

ЛЕКЦИИ

PRO SCIENCE

ТЕАТР

РЕГИОНЫ

Геометрия мира по Кеплеру

Платоновы тела
Платоновы тела

19 марта в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялась лекция Александра Абрамовича Белавина  –  физика-теоретика, члена-корреспондента РАН, доктора физико-математических наук, главного научного сотрудника Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, ведущего научного сотрудника Лаборатории квантовой физики и информации ИППИ РАН, профессора Независимого московского университета. Тема лекции: «Платоновы тела, модель Кеплера и теория относительности Эйнштейна».

Первая часть лекции Александра Белавина была посвящена правильным многогранникам и основанной на них модели Солнечной системы, которую построил Иоганн Кеплер (1571—1630) в труде Mysterium Cosmographicum («Тайна мира», 1595). Во второй части лекции речь шла об основах специальной теории относительности Альберта Эйнштейна. В этом кратком обзоре мы успеем рассказать лишь о первой части лекции.

Напомним, что правильными многогранниками называются те многогранники, которые обладают тремя свойствами. Они должны быть выпуклыми, то есть такой многогранник должен быть весь расположен по одну сторону от плоскости любой из его граней. Второе условие – грани должны быть правильными многоугольниками. И третье – в каждой вершине многогранника должно сходиться одинаковое число ребер.

Известно всего пять правильных многогранников. Четыре грани у тетраэдра. Его гранями являются треугольники, а вершин у него четыре. Шесть граней имеет гексаэдр, или куб. Его грани – это квадраты, вершин – восемь. Восемь треугольных граней и шесть вершин у октаэдра. 12 граней имеет додекаэдр, грани эти пятиугольные, вершин у него 20. И, наконец, у икосаэдра 20 треугольных граней и двенадцать вершин.

Для правильных многогранников, как и для любых выпуклых многогранников действует теорема Эйлера, согласно которой верно равенство:

В – Р + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней многогранника.

Чтобы доказать это, сначала рассмотрим случай с плоской фигурой. Докажем, что, если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то выполняется равенство:

В - Р + Г = 1.

где В – число вершин, Р – число сторон, Г – многоугольников.

Если мы в подобном образом разбитом многоугольнике проведем дополнительную диагональ, то число вершин (В) не изменится, числе сторон (Р) вырастет на единицу и число многоугольников (Г), на который разбит большой многоугольник, также увеличится на единицу. Их общее соотношение останется прежним:

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим, разобьем весь многоугольник на треугольники, а затем будет убирать их, следя, останется ли постоянным число В - Р + Г. Попробуйте нарисовать чертеж произвольного многоугольника, разбить его диагоналями на треугольники, и стирать внешние стороны, следя за общим количеством вершин, сторон и внутренних многоугольников. Действуя последовательно, вы, в конце концов, получите треугольник, то есть ситуацию, когда В=3, Р=3, а Г=1, то есть равенство В – Р + Г = 2 верно.

Доказав случай с плоским многоугольником, вернемся к многогранникам. Для них, напомню, должно выполняться равенство:

В - Р + Г = 2.

Представим, что наш выпуклый многогранник сделан из гибкого, тянущегося материала. Вырежем одну из его граней, а остальную поверхность растянем на плоскости. У нас получится своеобразная сетка – многоугольник, где столько же вершин, сколько у изначального многогранника, столько же ребер, а более мелких многоугольников, на которые он разбит на один меньше: Г' = Г – 1.

Мы уже знаем, что для полученной фигуры верно, что В - Р + Г ' = 1. (заметьте, мы специально использовали одни буквы и для плоской фигуры, и для многогранника, чтобы было наглядней). Если мы вспомним, что удалили одну из граней многогранника, то для него выполняется В - Р + Г = 2 (граней на одну больше, вот и сумма увеличилась на единицу). Это мы и стремились доказать.

Теорема Эйлера, о которой здесь шла речь, сыграла важную роль в развитии теории графов и топологии, а мы продолжим изучать пять правильных многогранников.

Почему же всё-таки их только пять? Попробуем разобраться. Возьмем некий правильный многогранник, гранями которого являются n-угольники, а в каждой вершине сходится m ребер. Числа n и m должны быть больше или равны трем: двуугольника не бывает. Учитывая теорему Эйлера, мы можем прийти к заключению, что для вершин, ребер и граней этого многоугольника должны выполняться соотношения:

nГ = 2P;

Г = 2Р/n;

mB = 2P;

(2Р/m) – Р +  Р/n=2, а следовательно Р = 2nm / (2m + 2n - nm).

Из этого равенства следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Теперь попробуем подставлять в неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 возможные значения n и m и определять число вершин, ребер и граней правильного многогранника. При n = 3 и m = 3 получим Р = 6, В = 4, Г = 4, то есть тетраэдр. При n = 3 и m = 4 получим Р = 12, В = 8, Г = 6, то есть куб. При n = 3 и m = 5 получим Р = 30, В = 20, Г = 12, то есть додекаэдр. При n = 3 и m > 5 неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 перестает выполняться.

Перейдем к случаям, когда n = 4. При n = 4 и m = 3 получим Р = 12, В = 6, Г = 8, то есть октаэдр. Если m > 3, а n = 4, построение правильного многогранника невозможно, так как не выполняется неравенство (n – 2)(m – 2) < 4.

Рассмотрим случаи, когда n = 5. При n = 5 и m = 3 получим Р = 30, В = 12, Г = 20, то есть икосаэдр. Другие многогранники с n = 5 построить невозможно. Также невозможны многогранники, где n > 5. Так мы получили все пять существующих правильных многогранников и установили, что других нет.

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. В частности, доказать, что существуют только пять правильных многогранников первым смог Теэтет Афинский (около 417—369 год до н. э). Он же открыл икосаэдр и додекаэдр. Труды Теэтета до нас не дошли, но его достижения известны благодаря Евклиду.

Большое значение правильным многогранникам придавалось в картине мира, которую строил Платон (не случайно они стали известны под названием «Платоновы тела»). В платоновском диалоге «Тимей» предлагалось поставить каждому из первоначал в соответствие правильный многогранник. Куб соответствовал земле, октаэдр – воздуху, икосаэдр – воде, а тетраэдр – огню. Про додекаэдр же в «Тимее» говорилось: «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Как же использовал правильные многогранники Кеплер? Как уже упоминалось, в 1595 году он закончил труд Mysterium Cosmographicum («Тайна мира»), ставший, кстати, первой публичной защитой гелиоцентрической системы Коперника. В ней он предложил устройство Солнечной системы из последовательно вложенных друг в друга правильных многогранников, каждый из которых заключен в сферу.

На сферах расположены круговые орбиты шести известных в то время планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна. В сферу Сатурна был вписан куб, в него – сфера Юпитера, в нее – тетраэдр, в него – сфера Марса, в нее – додекаэдр, в него – сфера Земли, в нее – икосаэдр, в него – сфера Венеры, в нее – октаэдр и, наконец, в него – сфера, круг на которой образует орбиту Меркурия. Кеплер предложил также формулу, связывающую размер сферы каждой планеты с ее орбитальным периодом. От внутренних планет к внешним период обращения планет возрастал пропорционально удвоенной разницы радиусов сфер. Позднее Кеплер отказался от этой формулы из-за ее неточности.

Кеплер связывал эту систему с познанием божественного устройства мира, сопоставляя Солнце с Богом-Отцом, сферу звезд – с Сыном, а внутреннее пространство – со Святым Духом. В первом варианте «Тайны мира» была глава, содержащая библейские цитаты, которые, как представлялось Кеплеру, подтверждают идею гелиоцентризма. Правда, Тюингенский университет согласился публиковать труд Кеплера только при условии, что он уберет толкования Библии из своей книги.

Хотя от идеи круговых орбит Кеплер в дальнейшем отказался, «Тайна мира» была важным шагом в развитии гелиоцентризма, так как Коперник еще использовал для описания орбит птолемеевские понятия эпицикла и экванта. Кеплер уже в первом своем трактате отказался от многих из них. Постепенно Кеплер пришел к выводу, что орбиты планет представляют собой не круги, а эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце («первый закон Кеплера»).

Полную запись лекции можно прослушать тут.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
Подпишитесь
чтобы вовремя узнавать о новых спектаклях и других мероприятиях ProScience театра!
3D Apple Facebook Google GPS IBM iPhone PRO SCIENCE видео ProScience Театр Wi-Fi альтернативная энергетика «Ангара» античность археология архитектура астероиды астрофизика Байконур бактерии библиотека онлайн библиотеки биология биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера бозон Хиггса визуальная антропология вирусы Вольное историческое общество Вселенная вулканология Выбор редакции гаджеты генетика география геология глобальное потепление грибы грипп демография дети динозавры ДНК Древний Египет естественные и точные науки животные жизнь вне Земли Западная Африка защита диссертаций землетрясение зоопарк Иерусалим изобретения иммунология инновации интернет инфекции информационные технологии искусственный интеллект ислам историческая политика история история искусства история России история цивилизаций История человека. История институтов исчезающие языки карикатура католицизм квантовая физика квантовые технологии КГИ киты климатология комета кометы компаративистика компьютерная безопасность компьютерные технологии коронавирус космос криминалистика культура культурная антропология лазер Латинская Америка лженаука лингвистика Луна мамонты Марс математика материаловедение МГУ медицина междисциплинарные исследования местное самоуправление метеориты микробиология Минобрнауки мифология млекопитающие мобильные приложения мозг Монголия музеи НАСА насекомые неандертальцы нейробиология неолит Нобелевская премия НПО им.Лавочкина обезьяны обучение общество О.Г.И. открытия палеолит палеонтология память педагогика планетология погода подготовка космонавтов популяризация науки право преподавание истории происхождение человека Протон-М психология психофизиология птицы ракета растения РБК РВК регионоведение религиоведение рептилии РКК «Энергия» робототехника Роскосмос Роспатент русский язык рыбы Сингапур смертность Солнце сон социология спутники старообрядцы стартапы статистика технологии тигры торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология Фестиваль публичных лекций физика физиология физическая антропология фольклор химия христианство Центр им.Хруничева школа эволюция эволюция человека экология эпидемии этнические конфликты этология ядерная физика язык

Редакция

Электронная почта: politru.edit1@gmail.com
Адрес: 129343, Москва, проезд Серебрякова, д.2, корп.1, 9 этаж.
Телефоны: +7 495 980 1893, +7 495 980 1894.
Стоимость услуг Полит.ру
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003г. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2014.