16 октября 2019, среда, 11:06
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.Дзен

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

08 апреля 2010, 23:48

Задачки от Гулливера, или Геометрия подобия в романах Джонатана Свифта

Наука и жизнь

В романе Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера» главный герой Лемюэль Гулливер совершает четыре увлекательных путешествия. Отплывая каждый раз из вполне конкретного, реально существующего на карте портового города, он неожиданно попадает в диковинные страны. Сначала он оказывается в Лилипутии, где живут крошечные люди, а все окружающие предметы в 12 раз меньше обычных. Затем он попадает в государство Бробдингнег, населённое, напротив, людьми-великанами. Третье путешествие Гулливер совершает на летающий остров Лапуту, а четвёртое — в страну гуингнмов, где миром правят лошади. «Полит.ру» публикует статью кандидата педагогических наук Натальи Карпушиной, посвященную роли геометрии в романе. В статье автор рассуждает о том, почему для Свифта так важна идея подобия, а также предлагает любопытные задачи по мотивам первых двух путешествий Гулливера. Материал опубликован в журнале «Наука и жизнь» (2010. №3).

Несомненно, философы правы, утверждая, что понятия великого и малого суть понятия относительные.
Д. Свифт. Путешествие в Бробдингнег

ДЮЙМ ПРОТИВ ФУТА

В стране лилипутов английскому футу соответствовал дюйм. Это означает, что все её обитатели и окружавшие их предметы были в 12 раз меньше тех, что окружают нас, по высоте, толщине и т.д. Вот что поведал главный герой:

«Средний рост туземцев немного меньше шести дюймов, и ему точно соответствует рост как животных, так и растений: например, лошади и быки не бывают там выше четырёх или пяти дюймов, а овцы выше полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью, и так далее вплоть до самых крохотных созданий… Самые высокие деревья в Лилипутии не больше семи футов… Вся остальная растительность имеет соответственные размеры…»

В глазах Гулливера столица Лилипутии, куда его доставили по велению императора, походила на театральную декорацию, а окружавшая город местность казалась одним большим цветущим садом. Выражаясь языком геометрии, миниатюрный мир лилипутов, детально описанный Свифтом, был подобен миру Гулливера.

ТОЧНЫЙ РАСЧЁТ

Из воспоминаний Гулливера:

«…по приказанию императора для меня была изготовлена постель. Ко мне были привезены шестьсот матрацев обыкновенной [для лилипутов] величины; сто пятьдесят штук были сшиты вместе, и таким образом образовался один матрац, подходящий для меня в длину и ширину; четыре таких матраца положили один на другой, но, несмотря на это, моя постель была немногим мягче гладкого каменного пола. По такому расчёту были сделаны также простыни, одеяла и покрывала…»

Вычисления показывают: на изготовление матраца для Гулливера требовалось 122 × 4 = 576 лилипутских матрацев, а не 600, как указал автор (очевидно, «ошибка» продиктована стремлением Свифта упростить расчёты и округлить ответ). Согласимся и с тем, что постель была слишком жёсткой, ведь матрац оказался втрое тоньше, чем полагалось его сделать.

Далее герой сообщает:

«…в последнем пункте условий моего освобождения император постановляет выдавать мне еду и питьё в количестве, достаточном для прокормления 1728 лилипутов».

Всё верно: за один приём пищи Гулливер должен был съедать и выпивать в 123 = 1728 раз больше лилипута. В книге рассказывается, как проводился этот расчёт:

«Спустя некоторое время я спросил у одного моего придворного друга, каким образом была установлена такая точная цифра. На это он ответил, что математики его величества, определив высоту моего роста... и найдя, что эта высота находится в таком отношении к высоте лилипута, как двенадцать к единице, пришли к заключению, что объём моего тела равен по крайней мере объёму 1728 тел лилипутов, а следовательно, оно требует во столько же раз больше пищи».

СМЫШЛЁНЫЕ БЕЛОШВЕЙКИ

Как видим, лилипуты неплохо разбирались в геометрии и умело применяли её законы на практике. Достоин упоминания, например, оригинальный способ, с помощью которого белошвейки сняли с Гулливера мерки, чтобы сшить для него бельё.

«Они смерили большой палец [моей] правой руки и этим ограничились. Посредством математического расчёта, основанного на том, что окружность кисти вдвое больше длины пальца, окружность шеи вдвое больше окружности кисти, а окружность талии вдвое больше окружности шеи, и при помощи старой моей рубахи, которую я разостлал на земле перед ними как образец, они сшили мне бельё вполне по росту».

Описанный способ — ещё одно свидетельство смышлёности лилипутов и их познаний в области математики — вполне применим на практике. Указанное соотношение размеров перечисленных частей тела человека весьма близко к действительному, а длина большого пальца руки Гулливера справедливо была выбрана белошвейками в качестве единицы измерения. К тому же этот способ чрезвычайно прост, поскольку требует снятия всего одной мерки.

ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ И БЛЕСТРЕГ

В систему мер, принятую в Лилипутии, входили как минимум три единицы длины. Самая мелкая из них — дрерр. О ней в разговоре с Гулливером упомянул главный секретарь по тайным делам государства:

«Вы, должно быть, заметили, что каблуки на башмаках его величества на один дрерр ниже, чем у всех придворных (дрерр равняется четырнадцатой части дюйма)».

О второй единице длины герой услышал от местных моряков. Перед тем как отправиться вплавь к берегам империи Блефуску, отделённой от Лилипутии проливом, Гулливер поинтересовался его глубиной. И вот что узнал:

«…[моряки] сообщили мне, что при высокой воде глубина в средней части пролива равняется семидесяти глюмглеффам, что составляет около шести европейских футов».

Наконец, наиболее крупная единица длины встретилась герою в документе, содержавшем условия его освобождения. В бумаге отмечалось, что владения «могущественнейшего императора Лилипутии, отрады и ужаса вселенной» охватывают в окружности пять тысяч блестрегов, или около двенадцати миль.

Задача. Выразите дрерр, глюмглефф и блестрег в единицах метрической системы мер. Определите примерные размеры и площадь государства лилипутов, а также его столицы, которая, по словам Гулливера, в плане имела форму правильного четырёхугольника и была окружена стеной со стороной, равной пятистам футам.

ШАГ ИСПОЛИНА

В своём следующем путешествии герой Свифта попал в страну великанов. В ней дюйму соответствовал фут, поэтому все люди, животные, растения и вещи в 12 раз превосходили по размеру наши земные. В сравнении с жителями Бробдингнега Гулливер выглядел лилипутом. Карлик королевы, ниже которого не было человека во всей стране, — и тот казался рядом с ним огромного роста.

Как вспоминал позже Гулливер, при первой встрече с исполинами его охватили смятение и ужас. Спасаясь бег-ством, он укрылся в поле среди стеблей ячменя, но едва не погиб под ногами одного из великанов. Дадим слово самому герою:

«…один из жнецов подошёл на десять ярдов к борозде, в которой я лежал; испугавшись, что при следующем его шаге я буду растоптан или разрезан пополам серпом, я завопил, что есть мочи».

Но может, Гулливер преувеличил от страха угрожавшую ему опасность?

Задача. По оценке Гулливера, длина шага великана составляла десять ярдов. Так ли это? Ему действительно было от чего запаниковать?

ПРОТЯЖЕНИЕ ГОРОДА

Помните ли вы, как Гулливер определил размеры столицы страны великанов? Читаем в «Путешествии в Бробдингнег»:

«Город расположен по обоим берегам пересекающей его реки. Он тянется в длину на три глонглюнга (около пятидесяти четырёх английских миль), а в ширину — на два с половиной глонглюнга. Я лично произвёл эти измерения на карте, составленной по приказанию короля и нарочно для меня разложенной на земле, где она занимала пространство в сто футов[1]. Разувшись, я прошёл несколько раз по диаметру окружности карты, сосчитал число моих шагов и без труда определил по масштабу протяжение города».

Задача. На чём основан описанный способ измерения? Как в данном случае применяется идея подобия?

БАШНЯ ВЕЛИКАНОВ

Рассказывая о достопримечательностях столицы Бробдингнега, Гулливер замечает:

«Мне очень хотелось посетить главный храм и особенно возвышавшуюся над ним башню, которая считалась самой высокой в королевстве… Однако я, признаться, разочаровался в своих ожиданиях, так как высота башни была не более трёх тысяч футов, считая от основания до вершины; следовательно, если принять во внимание разницу в росте европейца и туземца, башня эта не представляла собой ничего достойного удивления, ибо (если память не изменяет мне) она далеко не достигала высоты колокольни в Солсбери[2], в соответствующей пропорции».

Задача. На сколько футов (разумеется, в соответствующей пропорции) постройка великанов была ниже колокольни в городе Солсбери, высота которой равна 404 футам?

***

Подобие — преобразование пространства, при котором линейные размеры фигур изменяются в одном и том же отношении, то есть умножаются на одно и то же число К, называемое коэффициентом подобия. Соответственно отношение линейных размеров подобных фигур равно К, отношение площадей — К2, а отношение объёмов — К3.

1 дюйм равен 1/12 фута, или 2,54 см.

1 ярд равен 3 футам, или 0,914 м.

Ответы:

С учётом того, что во всех рассмотренных задачах речь идёт о чисто геометрических расчётах, ответы будут следующие.

ДРЕРР, ГЛЮМГЛЕФФ И БЛЕСТРЕГ

1 дрерр = 2,54 : 14 ≈ 0,18 см = 1,8 мм, 1 глюмглефф= = 30,48×6 : 70 ≈ 2,61 см, 1 блестрег = 1,609344 ×12 : 5000 ≈ 0,00386 км = 3,86 м. (Напоминаем: 1 миля = = 1,609344 км.)

Из документа ясно, что территория Лилипутии была ограничена окружностью длиной 12 миль. Радиус этой окружности равен (12 × 1,609344) : (2 × 3,14) ≈ 3,1км. Следовательно, площадь государства составляла 3,14 × 3,12 ≈ 30,2 км2. Что касается столицы, то в плане она имела форму квадрата со стороной 500 × 0,3048 = 152,4 м и занимала площадь 152,42 ≈ 23 230 м2 ≈ 0,023 км2.

ШАГ ИСПОЛИНА

При ходьбе длина шага взрослого мужчины составляет в среднем 75—80 см, тогда у великана она должна быть в 12 раз больше, а именно 9—9,6 м, что вполне соответствует указанной Гулливером (10 ярдов = 9,144 м). Ещё шаг — и великан наступил бы прямо на него!

ПРОТЯЖЕНИЕ ГОРОДА

Карта — плоское, уменьшенное во много раз изображение города. Её масштаб играет роль коэффициента подобия. Измерив по карте протяжённость города в разных направлениях и увеличив её в указанное в масштабе число раз, можно легко вычислить истинные размеры города.

БАШНЯ ВЕЛИКАНОВ

В мире Гулливера высота башни составила бы 3000 : 12 = 250 футов (76,2 м), что на 154 фута (почти на 40%) меньше, чем высота колокольни в Солсбери. Разница довольно ощутимая! С другой стороны, башню никак не назовешь низкой. Для сравнения: высота Пизанской башни — 56,7 м, колокольни Ивана Великого — 81 м, кампанилы Джотто — 84 м.

Рисунки Жана Гранвиля выполнены в 1838 году (из книги Д. Свифта «Путешествие Гулливера». — М.: Огиз, 1947).

 

[1]Имеются в виду, конечно, квадратные футы. Перевод неточен.

[2]Речь идёт о башне местного кафедрального собора с самым высоким в Британии шпилем.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus

Главные новости

11:06 Глава РУСАДА заявил о тысячах изменений в базе данных о допинге. Он считает это «предательством»
11:00 На аналогах марсианских и лунных почв вырастили помидоры и горох
10:56 В Улан-Удэ обвиняемого в нападении на росгвардейца перевели под домашний арест
10:02 Личный состав МВД сократился до минимума за семь лет из-за пенсионной реформы
09:58 В Кировской области полицейский сбил насмерть шестилетнего мальчика. В крови ребенка нашли алкоголь, полицейский продолжает работать
09:30 Некрополь римской эпохи обнаружен на юге Франции
08:52 Google представил новые смартфоны с отслеживанием движений рук
08:09 Полиция нашла незаконную оружейную мастерскую в доме экс-майора МВД Дымовского
07:33 Правительство предложило конфисковать автобусы за незаконные перевозки
07:06 Ольга Кормухина обвинила Полину Гагарину в краже «Кукушки»
06:38 Палата представителей США отложила голосование по процедуре импичмента Трампу
06:18 «Ведомости»: полеты «Победы» из-за границы подорожают на 40%. Отмененный сбор за регистрацию в аэропортах придется платить всем пассажирам
05:34 Следователи предъявили обвинения всем пяти задержанным по «московскому делу». Им вменили применение силы к представителям власти
15.10 21:54 Глава Фонда развития гражданского общества утверждает, что не видел «плана борьбы с Навальным»
15.10 21:49 Приостановлено производство первого электромотоцикла от компании Harley-Davidson
15.10 19:13 Экс-депутат пермского Заксобрания и бизнесмен выплатят 9,5 млн рублей DJ Smash за избиение
15.10 19:10 Бизнесмены из санкционных списков получат особые законы
15.10 18:12 КНДР и Северная Корея впервые за 29 лет встретились на футбольном матче. Зрителей и голов не было
15.10 18:04 Парфенов больше не будет использовать название «Намедни» из-за возражений НТВ
15.10 17:13 Члены жилищно-строительных кооперативов смогут получить компенсации при обмане с жильем
15.10 17:04 В России запретили производить и продавать порошковый алкоголь
15.10 15:53 Жители острова Ольхон на Байкале решили спрятать от недоброжелателей бюст Путина. И сами его сломали
15.10 15:29 Китай и Непал вновь измерят высоту Эвереста
15.10 14:11 Роспотребнадзор: 1,4 млн человек в год умирает от немытых рук
15.10 14:02 Издание «Момент истины» оштрафовали по статье о фейковых новостях. Это первый приговор по новому закону
15.10 14:00 Тающий ледник позволил найти потерянную тысячу лет назад стрелу
15.10 13:18 РАНХиГС: треть россиян заняты на теневом рынке труда
15.10 13:10 Кирилл Серебренников получил французский Орден искусств и литературы
15.10 12:38 Полиция задержала еще одного фигуранта «московского дела»
15.10 12:00 На древнем осколке горшка найдено изображение японской шаманки
15.10 11:35 Российские университеты вошли в топ-3 лучших вузов Восточной Европы
15.10 11:09 Рэпер Баста купил футбольный клуб СКА из Ростова-на-Дону
15.10 11:00 Желтые гипергиганты меняют свою температуру на тысячи градусов за несколько десятилетий
15.10 10:44 Криштиану Роналду забил 700-й гол в карьере
15.10 10:32 В Москве полиция завела дело о мошенничестве на 1 млрд рублей. Подозреваемые трейдеры вместо сделок выводили деньги за границу
15.10 10:00 Новый метод поможет иммунной системе разыскивать опухолевые клетки
15.10 09:51 В Дагестане два человека заболели сибирской язвой
15.10 09:05 Силовики пришли c обысками к сторонникам Навального в 30 регионах России
15.10 08:27 В Сан-Франциско похищена гравюра Сальвадора Дали
15.10 08:05 Чеченский министр назвал «фейками» сообщения о «чистке» в ближнем круге Кадырова
15.10 07:39 В Японии число погибших в результате тайфуна достигло 66 человек
15.10 06:57 Борис Моисеев получает пенсию в 50 тыс. рублей. Его директор назвал деньги небольшими
15.10 06:11 Россияне оказались на месте столкновения протестующих и полиции в Каталонии
15.10 05:44 Женщина погибла при обрушении дома в Приморье. Предварительная причина – взрыв водонагревателя
15.10 05:21 Два автора получили Букеровскую премию в обход правил
14.10 19:28 «Новая газета»: Рамзан Кадыров проводит «зачистку ближайшего круга»
14.10 18:18 Мосгорсуд оставил без изменений приговор по «дадинской» статье Константину Котову
14.10 17:25 Режиссер «Джокера» рассказал, что танцевальной сцены Флека не было в сценарии
14.10 16:39 Экоактивистку, которая боролась против мусорного полигона на Шиесе, обвинили в распространении порнографии. В ее доме провели обыски
14.10 15:55 Правоохранители задержали четырех новых фигурантов «московского дела». Еще двое подозреваемых скрываются
«АвтоВАЗ» «ВКонтакте» «Газпром» «Зенит» «Мемориал» «Мистраль» «Оборонсервис» «Роснефть» «Спартак» «Яблоко» Абхазия Австралия Австрия Азербайджан Антимайдан Аргентина Арктика Армения Афганистан Аэрофлот Башкирия Белоруссия Бельгия Бразилия ВВП ВКС ВМФ ВПК ВТБ ВЦИОМ Ватикан Великобритания Венгрия Венесуэла Владивосток Внуково Волгоград ГИБДД ГЛОНАСС Генпрокуратура Германия Голливуд Госдеп Госдума Греция Гринпис Грузия ДТП Дагестан Домодедово Донецк ЕГЭ ЕСПЧ Евровидение Еврокомиссия Евромайдан Евросоюз Египет Екатеринбург ЖКХ Израиль Ингушетия Индия Индонезия Интерпол Ирак Иран Испания Италия Йемен КНДР КПРФ Казань Казахстан Калининград Камчатка Канада Каталония Кемерово Киев Кипр Киргизия Китай Коми Конституция Кремль Крым Куба Курилы ЛГБТ ЛДПР Латвия Ливия Литва Лондон Луганск МВД МВФ МГУ МКС МОК МЧС Малайзия Мексика Минздрав Минкомсвязи Минкульт Минобороны Минобрнауки Минпромторг Минсельхоз Минск Минтранспорта Минтруд Минфин Минэкономразвития Минэнерго Минюст Молдавия Мосгордума Мосгорсуд Москва НАСА Нигерия Нидерланды Новосибирск Норвегия ОБСЕ ООН ОПЕК Одесса ПДД Пакистан Паралимпиада Париж Пентагон Польша Приморье РАН РЖД РПЦ РФС Росавиация Росгвардия Роскомнадзор Роскосмос Роспотребнадзор Россельхознадзор Россия Росстат СМИ СССР США Сахалин Сбербанк Севастополь Сербия Сирия Сколково Славянск Сочи Таджикистан Таиланд Татарстан Трансаэро Турция УЕФА Узбекистан Украина ФАС ФБР ФИФА ФСБ ФСИН ФСКН Филиппины Финляндия Франция Харьков ЦИК ЦРУ ЦСКА Центробанк Чехия Чечня Швейцария Швеция Шереметьево Эбола Эстония ЮКОС Якутия Яндекс Япония авиакатастрофа автопром алкоголь амнистия арест армия археология астрономия аукционы банкротство беженцы бензин беспилотник беспорядки биатлон бизнес бокс болельщики вандализм взрыв взятка вирусы вузы выборы гаджеты генетика гомосексуализм госбюджет госзакупки госизмена деньги дети доллар допинг драка евро журналисты законотворчество землетрясение изнасилование импорт инвестиции инновации интернет инфляция ипотека искусство ислам исследования история казнь кино кораблекрушение коррупция космос кража кредиты культура лингвистика литература математика медиа медицина метро мигранты монархия мошенничество музыка наводнение налоги нанотехнологии наркотики наука недвижимость некролог нефть образование обрушение общество ограбление оппозиция опросы оружие офшор палеонтология педофилия пенсия пиратство планетология погранвойска пожар полиция похищение правительство право православие преступность продовольствие происшествия ракета рейтинги реклама религия ретейл робототехника рубль санкции связь сепаратизм следствие смартфоны социология спецслужбы спутники страхование стрельба строительство суды суицид тарифы театр телевидение теракт терроризм технологии транспорт туризм убийство фармакология физика фоторепортаж футбол хакеры химия хоккей хулиганство цензура школа шпионаж экология экономика экспорт экстремизм этология «Единая Россия» «Исламское государство» «Нафтогаз Украины» «Правый сектор» «Северный поток» «Справедливая Россия» «болотное дело» Александр Лукашенко Александр Новак Александр Турчинов Алексей Кудрин Алексей Навальный Алексей Улюкаев Амурская область Анатолий Сердюков Ангела Меркель Антон Силуанов Аркадий Дворкович Арсений Яценюк Астраханская область Барак Обама Басманный суд Башар Асад Белый дом Борис Немцов Бутовский полигон Валентина Матвиенко Верховная Рада Верховный суд Виктор Янукович Виталий Мутко Владимир Жириновский Владимир Зеленский Владимир Маркин Владимир Мединский Владимир Путин Вячеслав Володин Дальний Восток День Победы Дмитрий Медведев Дмитрий Песков Дмитрий Рогозин Дональд Трамп Евгения Васильева Забайкальский край Интервью ученых Ирина Яровая Иркутская область История человечества Калужская область Кирилл Серебренников Кировская область Конституционный суд Космодром Байконур Краснодарский край Красноярский край Ксения Собчак Ленинградская область МИД России Мария Захарова Михаил Прохоров Михаил Саакашвили Михаил Ходорковский Московская область Мурманская область Надежда Савченко Наталья Поклонская Николас Мадуро Нобелевская премия Новосибирская область Новый год Олимпийские игры Ольга Голодец Павел Дуров Палестинская автономия Папа Римский Первый канал Пермский край Петр Порошенко Почта России Приморский край Рамзан Кадыров Реджеп Эрдоган Республика Карелия Ростовская область Саратовская область Саудовская Аравия Свердловская область Сергей Лавров Сергей Нарышкин Сергей Полонский Сергей Собянин Сергей Шойгу Следственный комитет Совбез ООН Совет Федерации Ставропольский край Счетная палата Тереза Мэй Франсуа Олланд Хабаровский край Хиллари Клинтон Человек дня Челябинская область Черное море Эдвард Сноуден Элла Памфилова Эльвира Набиуллина Южная Корея Юлия Тимошенко Юрий Чайка авторское право администрация президента акции протеста атомная энергия баллистические ракеты банковский сектор биология большой теннис визовый режим военная авиация выборы губернаторов газовая промышленность гражданская авиация гуманитарная помощь декларации чиновников дороги России информационные технологии климат Земли компьютерная безопасность космодром Восточный крушение вертолета легкая атлетика лесные пожары междисциплинарные исследования мобильные приложения морской транспорт некоммерческие организации общественный транспорт патриарх Кирилл пенсионная реформа пищевая промышленность права человека правозащитное движение преступления полицейских публичные лекции российское гражданство русские националисты русский язык сельское хозяйство сотовая связь социальные сети стихийные бедствия телефонный терроризм уголовный кодекс фигурное катание финансовый рынок фондовая биржа химическое оружие эволюция экономический кризис ядерное оружие Великая Отечественная война Вторая мировая война Ирак после войны Ким Чен Ын Революция в Киргизии Российская академия наук Стихотворения на случай Федеральная миграционная служба Федеральная таможенная служба борьба с курением выборы мэра Москвы здравоохранение в России связь и телекоммуникации тюрьмы и колонии Совет по правам человека аварии на железной дороге естественные и точные науки закон об «иностранных агентах» компьютеры и программное обеспечение видеозаписи публичных лекций «Полит.ру» Новые технологии, инновации Сочи 2014 Кабардино-Балкария Левада-Центр Нью-Йорк Санкт-Петербург отставки-назначения шоу-бизнес Ростов-на-Дону ЧМ-2018 Книга. Знание ВИЧ/СПИД Apple Bitcoin Boeing Facebook G20 Google iPhone IT NATO PRO SCIENCE видео ProScience Театр Pussy Riot Telegram Twitter Wikileaks

Редакция

Электронная почта: [email protected]
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2019.