25 мая 2019, суббота, 08:00
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.Дзен

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

08 октября 2013, 15:15

Простая и сложная математика

Glynn fractals
Glynn fractals
 
Партнер проекта

3 октября в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялось выступление Леона Арменовича Тахтаджяна – доктора физико-математических наук, профессора математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущего научного сотрудника Международного математического института имени Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. Его лекция называлась «Математика как форма существования».

В своем рассказе Леон Тахтаджян продемонстрировал как многие понятия, знакомые нам по каждодневной жизни и кажущиеся простыми и понятными: число, форма, размер — при более внимательном анализе демонстрируют нам неожиданную сложность. Объем краткого вступительного очерка не позволяет нам описать целиком даже отдельный раздел лекции. Поэтому мы, учитывая, что лекция всё-таки была рассчитана на восприятие более или менее подготовленных слушателей, решили немного облегчить задачу тех, кто знаком с математикой мало. Для этого на уровне ликбеза мы рассмотрим лишь одну математическую проблему, упомянутую лектором — континуум-гипотезу в теории множеств. Читатели, получившие математическое образование, могут смело переходить сразу к видеозаписи лекции Леона Арменовича.

Рассуждать о сравнении множеств удобно на примере театра. Представим себе, что в ProScience Театр приходят зрители и рассаживаются в креслах. Глядя на это глазами математика, можно сказать, что устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством кресел. Что же мы видим? Ни один человек не сидит сразу на двух креслах (математик скажет, что такое соответствие двух множеств функционально). Нет ни одного кресла, где ютились бы сразу двое (математик назовет такое соответствие инъективным). Пустых кресел не осталось (такое соответствие зовется сюръективным). И все пришедшие люди смогли сесть (значит, соответствие является всюду определенным). Если соответствие функционально, инъективно, сюръективно и всюдуопределено, его называют взаимно-однозначным соответствием. Установив взаимно-однозначное соответствие между множеством пришедших зрителей и множеством кресел, мы узнали, что в этих множествах одинаковое число элементов. Математики в таких случаях также говорят, что мощности этих множеств равны или что данные множества эквивалентны.

Пока что эти рассуждения кажутся очевидными. Посмотрим, что будет дальше. Представьте, что ProScience Театр стал настольно популярен, что для него построили новое здание, где в зрительном зале бесконечное число кресел. На выступление известного ученого пришло бесконечное число зрителей. Первый зритель сел в кресло номер один, второй – в кресло номер два, n-й – в кресло номер n и так далее. Вновь установилось взаимно-однозначное соответствие. На следующий день в театре состоялось другое выступление, в котором лектор-физик положил перед началом спектакля на кресло номер один маленькую модель Большого адронного коллайдера. Пришел первый зритель, увидел, что кресло занято, и сел в кресло номер два. Второй – в кресло номер три, третий – в кресло номер четыре, n-й – в кресло номер n+1 и так далее. Администрация театра удивлена: свободных кресел было на одно меньше, в всем зрителям хватило место.

Но однажды случилась накладка. На одно и то же время в ProScience Театр по ошибке назначили два выступления. И на каждое купило билеты бесконечное число зрителей. Пришли зрители, заняли все кресла. И тут приходит еще столько же зрителей. Куда их сажать? Администрация театра, уже знакомая с неожиданными свойствами бесконечного зрительного зала нашла выход. Обратившись к первой бесконечной группе зрителей, директор театра попросил их сесть через одного на кресла с четными номерами. Первое кресло пустует, первый зритель сел во второе кресло, третье кресло осталось пустым, второй зритель – в третье кресло, третий – в пятое, n-й – в кресло номер 2n. Все расселись. Тогда директор предложил занять места бесконечному числу зрителей, пришедших позднее. Они уселись на нечетных креслах: первом, третьем, пятом… И всем хватило мест! Выходит, в бесконечном зрительном зале мест в два раза больше, чем мы думали?

Мы смогли установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел (зрителями) и множеством четных или нечетных чисел (креслами). Каким бы парадоксальным это не казалось, эти множества эквивалентны. Более того, множеству натуральных чисел эквивалентно любое его бесконечное подмножество: все числа, делящиеся на 43; все числа, заканчивающиеся на 0, простые числа, числа Фибоначчи и так далее. Ведь любое из этих множеств мы можем представить в виде последовательности элементов и перенумеровать эти элементы натуральными числами. Аристотель когда-то писал, что целое больше части. Как мы видим, в случае с бесконечными множествами это не так.

Может быть, множество целых (положительных и отрицательных) чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных? Нет, оказывается, что и эта пара множеств эквивалентна. Взаимно-однозначное соответствие устанавливается просто:

0 — 1, 1 — 2, -1 — 3, 2 — 4, -2 — 5, 3 — 6, -3 — 7 и так далее.

Тогда, может быть, все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Ответ на этот вопрос нашел немецкий математик Георг Кантор. Именно он создал теорию множеств, им введен термин «взаимно-однозначное соответствие». Ему удалось и доказать, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность натуральных. Доказательство это известно под названием канторовский диагональный процесс.

Рассмотрим действительные числа, расположенные на числовой оси между нулем и единицей. Предположим, что их множество эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть все их можно перенумеровать: а1, а2, а3, а4..., аn, … Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если эта дробь конечна, то с какого-то момента все последующие знаки в нем будут нулями. Запишем наши числа в виде десятичных дробей:

а1 = 0,00132277...

а2 = 0,90367515...

а3 = 0,21597404...

а4 = 0,09708352... и так далее.

Обратите внимание на подчеркнутые цифры. Они стоят по диагонали: первая цифра после запятой у а1, вторая — у а2 и так далее. С их помощью составим новую бесконечную десятичную дробь. Причем поступим так: если у числа аn на n-ом месте стоит ноль, в новой дроби на n-ом месте поставим единицу, во всех остальных случаях на n-ом месте ставим ноль. В итоге наша дробь будет выглядеть так: 0,1101... Получившаяся дробь не будет совпадать ни с одной из имеющихся среди а1,..., аn,… С а1 у нее будет отличаться первый знак после запятой, с а2 — второй и так далее. Мы считали, что записали в последовательности все числа между 0 и 1, однако новой дроби среди них не оказалось. Значит, мы пришли к противоречию, следовательно, утверждение, что множество чисел на отрезке от 0 до 1 эквивалентно множеству натуральных чисел неверно. Понятно, что множество действительных числе также не эквивалентно натуральным.

Затем Кантор доказал другую теорему: о том, что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, стали называть счетными множествами. Мощность множества действительных числе называется континуум. Как мы видим, в сторону увеличения мощность множеств может расти бесконечно: для каждого множества есть более мощное множество всех его подмножеств. Счетные же множества — самые «маленькие» из бесконечных множеств.

Тут мы и подошли к проблеме, которой заинтересовался и Георг Кантор: существуют ли множества, мощность которых больше, чем у счетных, но меньше, чем у множества действительных чисел. Это проблема получила название континуум-гипотезы. Доказать, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, Георг Кантор так и не смог. Лишь в 1940 году Курт Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в системе аксиом теории множеств, а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал, что и континуум-гипотеза также недоказуема в этой системе аксиом. Можно принять ее или ее отрицание как еще одну аксиому, что порождает два разных варианта теории множеств.

Обсудите в соцсетях

Система Orphus
«Ангара» Африка Византия Вселенная Гренландия ДНК Иерусалим КГИ Луна МГУ Марс Металлургия Монголия НАСА РБК РВК РГГУ РадиоАстрон Роскосмос Роспатент Росприроднадзор Русал СМИ Сингапур Солнце Юпитер акустика антибиотики античность археология архитектура астероиды астрофизика бактерии бедность библиотеки биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера викинги вирусы воспитание вулканология гаджеты генетика география геология геофизика геохимия гравитация грибы дельфины демография демократия дети динозавры животные землетрясение змеи зоопарк зрение изобретения иммунология импорт инновации интернет инфекции ислам исламизм исследования история карикатура картография католицизм кельты киты климатология комета кометы компаративистика космос культура лазер лексика лженаука лингвистика льготы мамонты математика материаловедение медицина метеориты микробиология микроорганизмы мифология млекопитающие мозг моллюски музеи насекомые наука нацпроекты неандертальцы нейробиология неолит обезьяны общество онкология открытия палеолит палеонтология память папирусы паразиты перевод питание планетология погода политика право приматы психиатрия психоанализ психология психофизиология птицы ракета растения религиоведение рептилии робототехника рыбы сердце смертность сон социология спутники старение старообрядцы стартапы статистика такси технологии тигры топливо торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология физика физиология фольклор химия христианство школа экология эпидемии эпидемиология этология язык Древний Египет Западная Африка Латинская Америка НПО «Энергомаш» Нобелевская премия РКК «Энергия» Российская империя Сергиев Посад альтернативная энергетика аутизм биология бозон Хиггса глобальное потепление грипп информационные технологии искусственный интеллект история искусства история цивилизаций исчезающие языки квантовая физика квантовые технологии компьютерная безопасность компьютерные технологии космический мусор криминалистика культурная антропология междисциплинарные исследования местное самоуправление мобильные приложения научный юмор облачные технологии обучение одаренные дети педагогика персональные данные подготовка космонавтов преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека русский язык сланцевая революция финансовый рынок черные дыры эволюция эмбриональное развитие этнические конфликты ядерная физика Вольное историческое общество жизнь вне Земли естественные и точные науки НПО им.Лавочкина Центр им.Хруничева История человека. История институтов Протон-М 3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM MERS PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi

Редакция

Электронная почта: [email protected]
Адрес: 129090, г. Москва, Проспект Мира, дом 19, стр.1, пом.1, ком.5
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2019.