22 февраля 2020, суббота, 10:41
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.Дзен

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

Геометрия мира по Кеплеру

Платоновы тела
Платоновы тела

19 марта в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялась лекция Александра Абрамовича Белавина  –  физика-теоретика, члена-корреспондента РАН, доктора физико-математических наук, главного научного сотрудника Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, ведущего научного сотрудника Лаборатории квантовой физики и информации ИППИ РАН, профессора Независимого московского университета. Тема лекции: «Платоновы тела, модель Кеплера и теория относительности Эйнштейна».

Первая часть лекции Александра Белавина была посвящена правильным многогранникам и основанной на них модели Солнечной системы, которую построил Иоганн Кеплер (1571—1630) в труде Mysterium Cosmographicum («Тайна мира», 1595). Во второй части лекции речь шла об основах специальной теории относительности Альберта Эйнштейна. В этом кратком обзоре мы успеем рассказать лишь о первой части лекции.

Напомним, что правильными многогранниками называются те многогранники, которые обладают тремя свойствами. Они должны быть выпуклыми, то есть такой многогранник должен быть весь расположен по одну сторону от плоскости любой из его граней. Второе условие – грани должны быть правильными многоугольниками. И третье – в каждой вершине многогранника должно сходиться одинаковое число ребер.

Известно всего пять правильных многогранников. Четыре грани у тетраэдра. Его гранями являются треугольники, а вершин у него четыре. Шесть граней имеет гексаэдр, или куб. Его грани – это квадраты, вершин – восемь. Восемь треугольных граней и шесть вершин у октаэдра. 12 граней имеет додекаэдр, грани эти пятиугольные, вершин у него 20. И, наконец, у икосаэдра 20 треугольных граней и двенадцать вершин.

Для правильных многогранников, как и для любых выпуклых многогранников действует теорема Эйлера, согласно которой верно равенство:

В – Р + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней многогранника.

Чтобы доказать это, сначала рассмотрим случай с плоской фигурой. Докажем, что, если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то выполняется равенство:

В - Р + Г = 1.

где В – число вершин, Р – число сторон, Г – многоугольников.

Если мы в подобном образом разбитом многоугольнике проведем дополнительную диагональ, то число вершин (В) не изменится, числе сторон (Р) вырастет на единицу и число многоугольников (Г), на который разбит большой многоугольник, также увеличится на единицу. Их общее соотношение останется прежним:

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим, разобьем весь многоугольник на треугольники, а затем будет убирать их, следя, останется ли постоянным число В - Р + Г. Попробуйте нарисовать чертеж произвольного многоугольника, разбить его диагоналями на треугольники, и стирать внешние стороны, следя за общим количеством вершин, сторон и внутренних многоугольников. Действуя последовательно, вы, в конце концов, получите треугольник, то есть ситуацию, когда В=3, Р=3, а Г=1, то есть равенство В – Р + Г = 2 верно.

Доказав случай с плоским многоугольником, вернемся к многогранникам. Для них, напомню, должно выполняться равенство:

В - Р + Г = 2.

Представим, что наш выпуклый многогранник сделан из гибкого, тянущегося материала. Вырежем одну из его граней, а остальную поверхность растянем на плоскости. У нас получится своеобразная сетка – многоугольник, где столько же вершин, сколько у изначального многогранника, столько же ребер, а более мелких многоугольников, на которые он разбит на один меньше: Г' = Г – 1.

Мы уже знаем, что для полученной фигуры верно, что В - Р + Г ' = 1. (заметьте, мы специально использовали одни буквы и для плоской фигуры, и для многогранника, чтобы было наглядней). Если мы вспомним, что удалили одну из граней многогранника, то для него выполняется В - Р + Г = 2 (граней на одну больше, вот и сумма увеличилась на единицу). Это мы и стремились доказать.

Теорема Эйлера, о которой здесь шла речь, сыграла важную роль в развитии теории графов и топологии, а мы продолжим изучать пять правильных многогранников.

Почему же всё-таки их только пять? Попробуем разобраться. Возьмем некий правильный многогранник, гранями которого являются n-угольники, а в каждой вершине сходится m ребер. Числа n и m должны быть больше или равны трем: двуугольника не бывает. Учитывая теорему Эйлера, мы можем прийти к заключению, что для вершин, ребер и граней этого многоугольника должны выполняться соотношения:

nГ = 2P;

Г = 2Р/n;

mB = 2P;

(2Р/m) – Р +  Р/n=2, а следовательно Р = 2nm / (2m + 2n - nm).

Из этого равенства следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Теперь попробуем подставлять в неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 возможные значения n и m и определять число вершин, ребер и граней правильного многогранника. При n = 3 и m = 3 получим Р = 6, В = 4, Г = 4, то есть тетраэдр. При n = 3 и m = 4 получим Р = 12, В = 8, Г = 6, то есть куб. При n = 3 и m = 5 получим Р = 30, В = 20, Г = 12, то есть додекаэдр. При n = 3 и m > 5 неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 перестает выполняться.

Перейдем к случаям, когда n = 4. При n = 4 и m = 3 получим Р = 12, В = 6, Г = 8, то есть октаэдр. Если m > 3, а n = 4, построение правильного многогранника невозможно, так как не выполняется неравенство (n – 2)(m – 2) < 4.

Рассмотрим случаи, когда n = 5. При n = 5 и m = 3 получим Р = 30, В = 12, Г = 20, то есть икосаэдр. Другие многогранники с n = 5 построить невозможно. Также невозможны многогранники, где n > 5. Так мы получили все пять существующих правильных многогранников и установили, что других нет.

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. В частности, доказать, что существуют только пять правильных многогранников первым смог Теэтет Афинский (около 417—369 год до н. э). Он же открыл икосаэдр и додекаэдр. Труды Теэтета до нас не дошли, но его достижения известны благодаря Евклиду.

Большое значение правильным многогранникам придавалось в картине мира, которую строил Платон (не случайно они стали известны под названием «Платоновы тела»). В платоновском диалоге «Тимей» предлагалось поставить каждому из первоначал в соответствие правильный многогранник. Куб соответствовал земле, октаэдр – воздуху, икосаэдр – воде, а тетраэдр – огню. Про додекаэдр же в «Тимее» говорилось: «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Как же использовал правильные многогранники Кеплер? Как уже упоминалось, в 1595 году он закончил труд Mysterium Cosmographicum («Тайна мира»), ставший, кстати, первой публичной защитой гелиоцентрической системы Коперника. В ней он предложил устройство Солнечной системы из последовательно вложенных друг в друга правильных многогранников, каждый из которых заключен в сферу.

На сферах расположены круговые орбиты шести известных в то время планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна. В сферу Сатурна был вписан куб, в него – сфера Юпитера, в нее – тетраэдр, в него – сфера Марса, в нее – додекаэдр, в него – сфера Земли, в нее – икосаэдр, в него – сфера Венеры, в нее – октаэдр и, наконец, в него – сфера, круг на которой образует орбиту Меркурия. Кеплер предложил также формулу, связывающую размер сферы каждой планеты с ее орбитальным периодом. От внутренних планет к внешним период обращения планет возрастал пропорционально удвоенной разницы радиусов сфер. Позднее Кеплер отказался от этой формулы из-за ее неточности.

Кеплер связывал эту систему с познанием божественного устройства мира, сопоставляя Солнце с Богом-Отцом, сферу звезд – с Сыном, а внутреннее пространство – со Святым Духом. В первом варианте «Тайны мира» была глава, содержащая библейские цитаты, которые, как представлялось Кеплеру, подтверждают идею гелиоцентризма. Правда, Тюингенский университет согласился публиковать труд Кеплера только при условии, что он уберет толкования Библии из своей книги.

Хотя от идеи круговых орбит Кеплер в дальнейшем отказался, «Тайна мира» была важным шагом в развитии гелиоцентризма, так как Коперник еще использовал для описания орбит птолемеевские понятия эпицикла и экванта. Кеплер уже в первом своем трактате отказался от многих из них. Постепенно Кеплер пришел к выводу, что орбиты планет представляют собой не круги, а эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце («первый закон Кеплера»).

Полную запись лекции можно прослушать тут.

Обсудите в соцсетях

«Ангара» Африка Византия Вселенная Гренландия ДНК Иерусалим КГИ Луна МГУ Марс Монголия НАСА РБК РВК РГГУ РадиоАстрон Роскосмос Роспатент Росприроднадзор Русал СМИ Сингапур Солнце Титан Юпитер акустика антибиотики античность археология архитектура астероиды астрофизика бактерии бедность библиотеки биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера вакцинация викинги вирусы воспитание вулканология гаджеты генетика география геология геофизика геохимия гравитация грибы дельфины демография демократия дети динозавры животные здоровье землетрясение змеи зоопарк зрение изобретения иммунология импорт инновации интернет инфекции ислам исламизм исследования история карикатура картография католицизм кельты кибернетика киты климатология клонирование комары комета кометы компаративистика космос культура культурология лазер лексика лженаука лингвистика льготы мамонты математика материаловедение медицина металлургия метеориты микробиология микроорганизмы мифология млекопитающие мозг моллюски музеи насекомые наука нацпроекты неандертальцы нейробиология неолит обезьяны общество онкология открытия палеолит палеонтология память папирусы паразиты перевод питание планетология погода политика право приматы природа психиатрия психоанализ психология психофизиология птицы ракета растения религиоведение рептилии робототехника рыбы сердце смертность собаки сон социология спутники старение старообрядцы стартапы статистика такси технологии тигры топливо торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология физика физиология фольклор химия христианство цифровизация школа экология электрохимия эпидемии эпидемиология этология язык Александр Беглов Дмитрий Козак Древний Египет Западная Африка Латинская Америка НПО «Энергомаш» Нобелевская премия РКК «Энергия» Российская империя Сергиев Посад альтернативная энергетика аутизм биология бозон Хиггса вымирающие виды глобальное потепление грипп защита растений инвазивные виды информационные технологии искусственный интеллект история искусства история цивилизаций исчезающие языки квантовая физика квантовые технологии климатические изменения компьютерная безопасность компьютерные технологии космический мусор криминалистика культурная антропология междисциплинарные исследования местное самоуправление мобильные приложения научный юмор облачные технологии обучение одаренные дети педагогика персональные данные подготовка космонавтов преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека русский язык сланцевая революция физическая антропология финансовый рынок черные дыры эволюция эмбриональное развитие этнические конфликты ядерная физика Вольное историческое общество жизнь вне Земли естественные и точные науки НПО им.Лавочкина Центр им.Хруничева История человека. История институтов дело Baring Vostok Протон-М 3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM MERS PayPal PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi

Редакция

Электронная почта: [email protected]
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2020.