8 декабря 2022, четверг, 11:51
VK.comTwitterTelegramYouTubeЯндекс.ДзенОдноклассники

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

Лекции
хронология темы лекторы

Андрей Коняев: Бесконечность в быту и в математике

Андрей Коняев
Андрей Коняев

3 ноября в рамках Публичных лекций Полит.ру выступил создатель портала N+1, один из создателей kuji-подкаста, математик, журналист, популяризатор науки Андрей Коняев. Тема лекции — «Бесконечность в быту и в математике».

Эта лекция не имеет особого смысла, и вообще наше с вами сегодняшнее путешествие в удивительный мир математики будет коротким, болезненным, и, надеюсь, мы быстро закончим, потому что не всем нравится, когда их долго мучают.

Начнем мы с очень базового вопроса: почему хорошо быть Екатериной Шульман (внесена Минюстом РФ в реестр иноагентов, — Полит.Ру)? Ну, помимо того, что тебя обнимают симпатичные женщины просто за то, что ты есть. Какие у вас есть варианты? Кто-нибудь из вас был на моих предыдущих лекциях? Нет? Каждый раз новая аудитория! А, вот, были. Просто у меня есть ощущение, что я делаю рассказ, а люди такие: «Да, очень круто», — и уезжают из Москвы. Потом следующие такие: «Андрей так интересно рассказывал», — и тоже уезжают. Собственно, мы здесь с вами в такой ситуации, и я люблю задавать вопросы аудитории, потому что мне не очень интересно читать монолог, я не очень привык читать монологи. Так вот, почему хорошо быть Екатериной Шульман* прямо сейчас? Ваши варианты. Известная… Вы же понимаете, отвечая на этот, казалось бы, простенький вопрос, вы в первую очередь выдаете какие-то свои внутренние тайные желания. Кто-то хочет быть умным, кто-то — известным, кто-то хочет быть в Берлине, кто-то хочет, чтобы его слушали. Екатерина Шульман* — политолог, вот что важно. Политолог описывает политическую действительность. Мы живем сейчас с вами в такое время, когда политическая действительность превалирует над всеми остальными. Когда вы последний раз волновались по поводу пандемии? Даже сейчас я вам рассказывал эту историю про маску, и у вас не возникла мысль: «Кстати, а как там смертность?» — нет-нет, вы такие: «А, типа маска, пандемия…» — хотя коронавирус никуда не ушел. Когда ты политолог, ты можешь круто понимать политическую действительность, ты можешь ее понимать, ты можешь ее воспринимать и у тебя есть инструменты для описания этой действительности — вот что круто. Политологам и социологам сейчас вообще нормально, Юдин, Шульман* — хорошо. Потому что про всё, что происходит, ты можешь что-то сказать, ты говоришь: «Да-да-да, это понятно, это произошло потому-то» или «Нет-нет-нет, у этого события есть вот такой неожиданный эффект, вы увидите» и так далее. Я — математик, математики работают с какими-то абсолютными вещами, оперируют логикой и вообще целятся в рациональные объяснения и в рациональные вещи. И проблема в том, что текущая реальность очень плохо описывается в рациональных терминах, вообще прямо не очень. То есть при попытке как-то применить то, как я воспринимаю жизнь, к жизни у меня возникает какой-то когнитивный диссонанс. Ничего не понятно, что происходит — не ясно, ну и, конечно, сверлят. Потому что на чьей лекции можно сверлить? Только на моей. Поэтому хорошо быть Екатериной Шульман*. Однако мы сегодня с вами поспекулируем и попробуем-таки математику немножко применить к жизни, натянуть сову на глобус, как говорится, исключительно для того, чтобы было нам в четверг не скучно.

Итак, начнем мы с классического парадокса «Ахиллес и черепаха». Идея такая — почему Ахиллес не догонит черепаху? Давайте сразу: проблема со всеми такими историями, что когда ты их рассказываешь, тебе кажется, что человек, который это придумал, Зенон, он тупой, такую чушь нес. А это был мысленный эксперимент вообще про другое, это был мысленный эксперимент про то, можно ли бесконечно делить объекты во вселенной. Вселенная — она непрерывна или дискретна? Это был долгий спор совершенно в другом контексте, но все запомнили вот эту историю. Какой пример приводил Зенон, говоря о том, что нельзя бесконечно всё делить? Он говорил: смотрите, бежит Ахиллес, бежит черепаха. Пусть черепаха вначале где-то стояла, Ахиллес туда добежал, но за это время черепаха сдвинулась. Теперь он бежит дальше за черепахой, добежал снова до того места, где она стояла. За это время черепаха сдвинулась? Сдвинулась. Хорошо, он бежит еще. Он вроде бы приближается к черепахе, но догнать ее не может, потому что пока он бежит, черепаха тоже движется. И несмотря на такую разницу скорости, догнать он ее не может, однако в реальной жизни, как мы знаем, Ахиллес быстро догонит черепаху. Из этого Зенон делал вывод, что так бесконечно всё делить не стоит. Наверное, там где-то должна быть такая неделимая сущность по времени или по чему-то, и вот с ней надо жить. Но это хороший пример, и его приводят, когда начинают говорить о бесконечности в самом широком смысле. Вот здесь есть явная бесконечность, потому что это процесс, который мы описали: ну, вот там где-то он должен происходить, куда-то он идет, какие-то расстояния, и мы не задумываемся о том, куда он происходит.

Проблема состоит в том, что на самом деле человек для бесконечности не предназначен, человек плохо работает с бесконечностью, и наша с вами интуиция, какой-то здравый смысл при попытке в лоб это применить к бесконечности просто сдается: вы просто не знаете, что делать. Специально для этого создана математика. Математика — можно представить ее как такие перчатки, в которых вы держите что-то горячее. Вот вы держите — и вас не жжет, пока вы держите, всё хорошо, мир реален. Только вы сняли перчатки, схватились за бесконечность голой рукой — всё, понеслось. И начинаются всякие бессмысленные… Вот знаете, есть Парадокс бесконечного отеля. Кто не слышал, обязательно погуглите, на YouTube есть ролики. И когда показывают этот парадокс, люди говорят: вот такая вот удивительная бесконечность. Конечно, она удивительная. Вы голыми руками за нее схватились, получился какой-то абсурд, и вы такие: вот, а математики понимают! Нет, математики не понимают, они просто знают, как ее держать надо.

Перейдем к тому, как ее надо держать. Основным нашим объектом сегодня будет функция. Неплохо, неожиданно! Там еще интегралы будут и чебышевские нормы, поэтому кто страдает, может уйти прямо сейчас. Что такое функция? Зависимость двух величин. Каких? X и Y, например, то есть X — и по нему Y какой-то строится. Что выражает функция? Что удобно выражать функциями, что мы описываем чаще всего? Общим словом мы описываем с вами процесс, как ни странно, какой-нибудь процесс. Например, представим себе, что вот тут мы нарисовали время T — это 24 часа в сутки, и каждую минуту мы будем рисовать, какое у нас настроение — хорошее, плохое. Это сложно сказать, потому что непонятно, по какой мерке мерить, но гипотетически мы представим, что Apple Watch научился мерить наше с вами настроение по тому, как мы ходим, двигаем руками, по нашему пульсу, по электропроводимости нашей кожи. У нас с вами есть график, который мы можем посмотреть и сказать: да, в семь вечера я чувствую себя сильно хуже, чем я себя чувствовал часов в девять утра. Вот в девять утра ты проснулся, попил кофе, сразу раз — и настроение поднялось, а потом что-то вниз-вниз-вниз. Чем хорош такой график? Мы на него смотрим и видим: вот здесь явно был пик, я проснулся и у меня всё хорошо, дальше всё идёт под откос. Почему? Надо на работу. Потом может быть какой-то перерыв, потом снова под откос, а потом уже заканчивается рабочий день и всё нормально. Вот, мы изобразили процесс жизненного счастья. Вот насколько вы счастливы каждый день, задается функцией. Видите, мудрая мысль, запомним ее.

Чтобы не быть голословным, нам еще потребуется интеграл. Мы дадим определение: что такое интеграл применительно к нашей функции счастья? Вот вы знаете, как вы счастливы каждую минуту, а теперь мы хотим как-то что-то усреднить, как-то понять, день в целом удался или нет. Как мы это сделаем? Вот у вас прошел день, и вы хотите понять, хороший он был или никакой, — как вы будете этот вопрос решать? Например, вы такой: сегодня я сделал что-то важное и день прошел не зря, сегодня мне подарили что-то и день прошел не зря, или в целом ничего плохого не произошло, день отличный. Вот как вы оцениваете для себя? Что вам важно? Вам важны конкретные события или в целом ощущение от дня? Что вы выберете? То есть, по-вашему, хороший день — это когда произошло какое-то хорошее событие? У меня просто сын 24 февраля 2022 года выиграл на одном чемпионате Москвы. Могу ли я назвать день 24 февраля 2022 года хорошим? Что-то вопросики, да? Как-то не получается, но у меня в этот день было хорошее событие. Как нам тогда быть? Ведь есть плохие события и хорошие. Сухой остаток? По ощущениям в конце дня? Что значит — по ощущениям в конце дня? Когда мы с вами, грубо говоря, собрали всё, что было, сложили, как-то потрясли и посмотрели, что было плохо, хорошо, но в какой-то момент — и это логично — в целом, хорошего было больше. В этот день было больше хорошего — значит, день был неплохой, очень простая идея. Теперь как нам ее отметить математически? Нам потребуется интеграл. Вот мы возьмем с вами функцию, это функция нашего настроения, как мы чувствовали себя в течение дня. Дальше мы разобьем день на маленькие кусочки — когда вы говорите, что вы чувствуете себя хорошо, это какая продолжительность, по-вашему? Вот я сказал, что я чувствую себя хорошо, — это минута, секунда? Вот я говорю: у вас сейчас какое настроение? Нормальное, потому что уже тяжело, потому что — что за лекция, что происходит, непонятно. Я говорю — да, но вы, когда отвечаете мне на вопрос, какое у вас сейчас настроение, говорите, что нормально, то какой конкретно промежуток времени вы имеете в виду? Сию секунду. То есть вы сказали, что нормальное, но, возможно, это уже неправда. Хорошо, тогда секунду нормально. Разобьем весь наш день на 24 часа, каждый час разобьем на 60 минут, соответственно, каждую минуту на 60 секунд, и по секундочкам расставим. В каждую секундочку у нас будет хорошее настроение, плохое настроение, у нас есть график. Теперь мы хотим это всё сложить. Если мы просто сложим вот это всё в каждой точке, как мы себя чувствовали в течение дня, выйдет непонятная штука, потому что мы просто просуммировали эти штуки, и не ясно, насколько это хорошо, плохо, какие-то события могут быть большие, могут быть маленькие. Потому что, например, бывает такое долгое приятное ощущение, а бывает классное ощущение, а потом испортилось настроение. Например, второе — это когда ты что-нибудь вкусненькое поел, заказал торт, например, и пока ешь его… Ну ладно, подставьте вместо торта то, что вам нравится. Хорошо, заказал суши! И вот их шесть штук, и вот ты ешь суши — и тебе прямо нормально, потом похуже, потом нормально, потом похуже. То есть суши удовольствие доставляют, но оно кратковременное. То ли дело любовь или, не знаю, «Игра престолов». Длина удовольствия важна. Поэтому мы с вами должны вот что сделать: мы должны взять каждую вот эту штучку, которая у нас есть, и умножить ее на длину времени, по которой мы мерили. Вот мы говорим — здесь было нормально, здесь было не очень, вот здесь было длинно не очень, а вот здесь было нормально и мало. Вот это умножение — это мы как бы учитываем протяженность наших с вами чувств. И после того, как мы с вами это всё просуммировали, у нас получилась интегральная сумма Римана, она там написала слева. Вот F — это значение нашей функции удовольствия в этот конкретный момент, дельта X–Y — это вот промежуточки, на которые мы разбили, потому что опыт показывает, что равномерное разбиение, посекундное — не очень хорошее, иногда надо где-то две секундочки взять, иногда где-то, может быть, долю секунды, особенно если испугался, то есть вот это равномерное разбиение не всегда хорошее, поэтому эти дельты разные. А N — это сколько кусочков мы выделили в сутках и составили вот такую сумму. Это почти бесконечность, потому что мы разбиваем на маленькие промежутки, каждый из этих промежутков — мимолетный и как будто не вносит никакого вклада в наше с вами общее ощущение от жизни. Но на самом деле, если их много, они маленькие, но их много, то суммарно-то они какой-то вклад вносят.

И вот тут как раз нужно надеть математические перчатки, чтобы не облажаться, и мы говорим — переходим к пределу! Это такие магические слова. Перешли к пределу — и получился интеграл. Интеграл — это вот такое число за день, как мы себя в среднем чувствовали, то есть это такое интегральное ощущение от дня, от отпуска, от вечера. И теперь, если кто-то из вас не знал определение интеграла, он его всё еще не знает, но хотя бы понимает, о чем идёт речь. Промежуточки умножили на интегральное ощущение от дня — это и есть интеграл.

Вот, кстати, хороший график про счастье. Я не удержался и подумал, что должен же быть какой-то хороший график про счастье, и нашел. Это индекс счастья, тут, правда, не влезли его значения, мужчин и женщин в Америке. Что-то тут вообще мужики приуныли, да? Где-то там в 80-х расстраивались сильно, а потом ничего, какой-то оптимизм у них был в 90-х. У нас-то явно не так всё было, а у них, наоборот, хорошо. И там где-то должен быть 2001-й год, но не знаю, какие там цифры. Вот, пожалуйста. Это гораздо более грубый график, он не касается конкретного человека, он касается в среднем популяции. То есть мы опросили людей, узнали, как они себя чувствуют, и нарисовали это на графике. И в данном случае, если мы с вами проинтегрируем эту вещь (это довольно легко сделать, потому что шаг будет — один год), то мы с вами получим такое интегральное счастье популяции за столько времени, за сколько проинтегрируем, например, с 1975 по 2000 год. Вот так себя чувствовали люди. Поэтому функция — вещь не бесполезная, может пригодиться.

А эта таблица — на всякий случай. Вдруг кто-то из вас знает таблицу элементарных интегралов, но забыл ее, а сейчас он на нее посмотрел и увидел. Потому что на самом деле интегралы — для обычных графиков, потому что ваш график эмоций — он сложный, он колеблющийся. А эти графики — они попроще математически, для каждого из них интеграл можно посчитать. Он считается, это называется "первообразные", и, в общем-то, этому посвящен существенный кусок математического анализа. Кто-нибудь из вас был травмирован математическим анализом здесь? Понятно. Давайте так: кто знает длинные логарифмы интегралов? Нет? Ладно, не так уж вы были и травмированы, не знаете длинные логарифмы и не можете отличить их от высокого логарифма.

В целом, вы видите, что математика — это тоже романтическая наука. Понятное дело, что я сейчас пытаюсь играть в Екатерину Шульман*, притягиваю матан к окружающей жизни, но что делать, иначе просто остается рассказать вам про интегралы. Поэтому давайте представим себе, что у нас есть интегралы, а теперь мы поговорим про две вещи. На самом деле, когда у вас есть функция, вы можете попытаться ее оценить, и интеграл — это не единственный способ, это вот другой способ, который здесь написан. Что здесь написано? Здесь написано: давайте посмотрим на функцию и найдем ее самое большое значение, то есть вспомним день и вспомним самый счастливый момент этого дня. И будем характеризовать дни самыми счастливыми моментами этого дня. Правда, я звучу как Тони Роббинс? Кто знает — тот понял шутку, кто не знает — это такой мотиватор. Вот что в мотивационных вещах вам говорится? Вам говорится: не нужен интеграл, не надо помнить плохое, давайте помнить день по самой яркой точке, тогда все ваши дни будут офигенно яркие. У меня они будут состоять из воспоминаний утра в основном, когда я иду и пью кофе. Вот первый кофе — это прямо самый лучший момент дня. И вот это вполне себе полезная метрика в математике, но смысл ее именно такой: давайте запоминать только хорошее или, если вы пессимист, давайте запоминать плохое. Например, вы расстались с кем-то, вы встречались, расстались, и вас просят охарактеризовать ваши отношения, как это было. Какую метрику выберете вы? Чем вы воспользуетесь? Интегралом или же вот этой вот штукой, заменив, может быть, максимум на минимум. Как вы думаете, как поступит большинство людей? Давайте вы задумались как будто о себе, типа что вы так поступали, что типа «Да он вообще!» — и дальше идут перечисления самых максимальных минимумов. Вот отношения были пять лет, а у тебя натурально четыре истории, и они такие адские, что ты говоришь, что метрика такая, отношения — дерьмо! Бывает же такое? Бывает же такое желание взять и пройтись по низам. Или, например, по верхам. Я не знаю, а вообще бывает в жизни, когда было плохо и хорошо, а ты говоришь, что всё было замечательно, всё было отлично, было просто тут классно, там классно и здесь. Вообще нормально. То есть вы так бывшие отношения характеризуете — респект и уважуха. И это же вопрос такой, философский: вот есть математика, есть метрики, то есть как мы измеряем функцию, у нас есть интеграл и вот такая штука. А почему мы в одном случае выбираем интеграл, а в другом — такую штуку? Чем мы руководствуемся? Насколько это осознанный выбор? Выбор, конечно, неосознанный, мы с вами не принимаем этого решения — измерять какую-то вещь, руководствуясь конкретной метрикой, это неосознанно. Почему-то людям свойственно варьироваться. Если бы мы были универсалами и всё считали интегрально, то мы говорили бы, что в целом эти несколько месяцев или лет, я уж не знаю, сколько вы там встречались, было много хорошего, было много плохого, в среднем +17 — это результат наших отношений. И ты говоришь, что это неплохой результат, не минус, больше нуля, в целом всё сошлось.

Следующее — это интегральная норма, то, о чем мы говорили, когда вы интегрируете, у меня здесь просто пострашнее написано — это называется пространство Соболева, которое используется в функциональном анализе и в квантовой механике. 

Лев Николаевич Толстой. Что здесь делает Лев Николаевич Толстой, как вы думаете? Смотрите, вы слушаете лекцию по математике 30 минут, а уже даете абсолютно верные и абсолютно бесполезные ответы на мои вопросы — это чисто математика. Что здесь делает Лев Николаевич Толстой? Он лежит, несомненно. Или что здесь делает Лев Николаевич Толстой? Он на фотографии. На самом деле если вы подумаете и поспекулируете над понятием «интеграл»… Кто вообще читал «Войну и мир», честно читал «Войну и мир»? Кто дочитал «Войну и мир» до конца? Помните, там в конце, ее всегда задают читать, есть огромная «телега», где Толстой очень долго рассказывает, что на самом деле исторические процессы — они очень сложные. Вот война, много людей воюет — как так получилось? Что они здесь делают? Неужто воля одного человека привела их сюда убивать друг друга? Или хорошо, ладно, привела, а дальше-то что? На местах же эта воля не действует. Товарищ Толкиен для решения этой проблемы изобрел око Саурона, чтобы каждого орка убиваешь, а Саурон им прямо лично управляет, — в его представлении так было. А тут вроде не лично. И Толстой говорит, что это такой процесс исторический, и его нельзя оценивать по конкретным событиям. Наполеон — это просто человек, который оказался сверху, а на его месте мог оказаться какой-то другой корсиканец, любой, брат Наполеона. Или Наполеон II, я не знаю. В общем, кто-то мог оказаться, любой человек сверху, и это могло произойти, потому что на самом деле нельзя исторические события судить по таким личностям, по ярким событиям, то есть к истории нельзя применять такую метрику. Нельзя судить об историческом процессе, сложном и многогранном, выбирая конкретные пики, и говорить: «Я понимаю историю, я знаю даты войн, что-то еще — и я всё знаю про историю». Это глупость, считал Толстой. И в каком-то смысле он был прав, он говорил, что как-то по-другому надо оценивать историю. Конечно, Толстой предлагал оценивать историю через интеграл. Представляете, вы на самом деле читали практически попытку Толстого определить исторический интеграл, когда читали «Войну и мир». Неплохо? Не вижу восхищения в ваших глазах. Вы прикасались к математике, к матану прямо через Толстого.

И закончим мы кратко другой историей, чтобы совсем уже сбить пафос. Расстояние-то можно по-другому мерить. Если вы хотите измерить функцию, вы можете попытаться измерить расстояние между разными точками — это тоже способ померить бесконечность. Вот один из способов измерения расстояния — он такой. Вот возьмем граф — это точки, которые соединены кривыми, и будем называть расстояния между точками "кратчайший путь". То есть если две точки соединены, то кратчайший путь между ними один. Если не соединены, то там надо пройти сколько-то шагов, и это будет расстояние. Мы можем смотреть на точки, смотреть на расстояния. И есть такой забавный эмпирический факт, что если вы посмотрите на социальный граф, то есть мы возьмем каждого из вас и соединим точками с вашими друзьями, будем считать, с кем вы дружите, то у социального графа очень маленькие расстояния. Это та самая гипотеза о шести рукопожатиях: что мы через сколько-то рукопожатий знаем Папу Римского, например. Это неплохо, это как раз иллюстрация такого факта. То есть граф гораздо сложнее: тут не шесть рукопожатий, тут побольше, но он показывает, что так устроен наш с вами мир. Он устроен с помощью таких связей, которые на самом деле сравнительно недалеко. И если мы возьмем все возможные расстояния в социуме и посмотрим на их максимум, снова выберем максимум, то мы получим, что он равен где-то шести, шести для 12 миллиардов, что довольно неплохо, как мне кажется. И это такая дискретная математика, про нее мне рассказывать не хотелось, мы больше хотелось рассказать про интеграл.

Зритель: Большое спасибо за лекцию, но у меня вопрос не совсем по теме лекции. Веришь ли ты в технологическую сингулярность?

— Это хороший вопрос, интересный. В технологическую сингулярность верят романтики, которым кажется, что технологическое развитие в какой-то момент будет превалировать над человеческой природой, и произойдет какое-то кардинальное изменение, которое просто перевернет наш мир. Как показывает опыт, человеческая природа меняется гораздо медленнее, чем технологии, и гораздо более устойчива, чем мы с вами думали. Поэтому, конечно, я не верю в технологическую сингулярность.

*внесена в реестр иноагентов.

Подпишитесь
— чтобы вовремя узнавать о новых публичных лекциях и других мероприятиях!

Редакция

Электронная почта: [email protected]
VK.com Twitter Telegram YouTube Яндекс.Дзен Одноклассники
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2022.