Борис Заварин — сын священника из села Копыри Ростовского уезда Ярославской губернии (ныне Ивановская область). Окончил семилетнюю школу. Продолжил обучение в сельскохозяйственном техникуме в Любиме. Женился. Был определен на должность псаломщика в храм с. Копыри. В 1937 году 27-летний Борис заварин поселился на Расловском-Воскресенском погосте (Грязовецкий район Вологодской области) и служил псаломщиком в Воскресенской церкви.
16 января 1938 года был арестован.
В тот же день были допрошены дежурные свидетели: почтальон и учитель школы. Они показали, будто Борис Заварин «агитировал, что нам терпеть насилие со стороны безбожной власти нельзя, надо действовать, при этом высказывал террористическое настроение по адресу партии ВКП(б)... агитировал колхозников, чтобы они не подчинялись установленной трудовой дисциплине и чтобы не выходили на работу, говоря им, что хотя вы и работаете, но ничего не получаете, сидите голодные, разутые, раздетые, нужно уходить из колхозов. Заварин ходил с попом со славой по деревням колхоза, где также агитировал против колхозов, говоря, что они не рентабельны и скоро развалятся».
17 января Борис Заварин вместе с тремя священниками, служившими в соседних селах и тоже арестованными, был доставлен в тюрьму в городе Вологде и в тот же день допрошен. Священники оговорили себя, признав себя виновными.
— Вы обвиняетесь в контрреволюционной деятельности. Дайте исчерпывающие показания следствию по данному вопросу, — потребовал следователь от Бориса Сергеевича.
— Контрреволюционной деятельности я не проводил и виновным в этом себя не считаю, — ответил псаломщик.
18 января следствие по делу арестованных священников и псаломщика было завершено; в материалах, приготовленных для заседания тройки, начальник Грязовецкого отделения НКВД рекомендовал осудить псаломщика «по 1-й категории» (т.е. к расстрелу).
21 января тройкой УНКВД по Вологодской области был осужден как «активный участник к-р подпольной организации духовенства» и приговорен к высшей мере наказания.
Расстрелян 7 февраля 1938 года в Вологодской тюрьме. Погребен в общей безвестной могиле.
