Сын диакона из села Спас-Леоновщина Егорьевского уезда Московской губернии. В 1892 году 18-летний Михаил окончил Скопинское духовное училище с правом поступления в Рязанскую духовную семинарию. Однако учёбе Михаил предпочёл практическую деятельность. Два года он был практикантом при церковноприходской школе села Дымова Скопинского уезда. В 1894 году получил свидетельство о звании учителя начальной школы. Свою самостоятельную педагогическую деятельность Михаил начал в приходской школе села Мурзинка Скопинского уезда Рязанской губернии. В 1897 году он обучался на церковно-учительских певческих курсах, которые закончил очень успешно, о чём имел соответствующее свидетельство. Женился, в семье родилось семеро детей.
В 1898 году был рукоположен во диакона епископом Рязанским и Зарайским Мелетием (Якимовым) и определен к Духовской церкви села Благие Раненбургского уезда Рязанской губернии. Одновременно с пастырским служением преподавал детям Закон Божий в Бахметьевско-Благовской церковноприходской школе.
В 1910 году был перемещён диаконом в раненбургскую Вознесенскую церковь. В 1911 или 1913 году был рукоположен во священника.
В 1913 году он был утверждён в должности законоучителя Пригородной Лучинской земской школы.
После революции о. Михаил пытался сплотить верующих вокруг православной церкви. В семейном архиве внучки отца Михаила сохранился проект создания культурно-религиозной общины при Вознесенском храме. Кроме религиозного просвещения жителей города и его окрестностей, одной из главных целей, по мнению отца Михаила, для создаваемой общины должна стать «благотворительность на братских христианских добровольных началах». Следующая важнейшая задача: община «вообще содействует духовно-нравственному оздоровлению окружающей жизни (борьба с хулиганством и нравственной распущенностью, охрана детства и материнства)». На обратной стороне листа — список прихожан-раненбуржцев, которые, как считал отец Михаил, имели влияние на общественное мнение и могли бы принять активное участие в работе общины. Время не пощадило этот документ, и, к великому сожалению, имена и фамилии читаются отрывками.
В 1932 году Вознесенская церковь была закрыта.
Отец Михаил в 1932 году вынужден оставить семью в Раненбурге. Он получил приход в селе Дмитриевский Боровок в соседнем Ново-Деревенском районе.
В 1933 году возведен в сан протоиерея архиепископом Рязанским Иувеналием (Масловским). В 1937 году служил в той же церкви с. Благие, в которой начинал свое священнослужение. Служил ревностно, говорил: «Хочу пострадать за Христа».
26 октября 1937 года был арестован вместе с восемью священнослужителями Ново-Деревенского района Рязанской области. Их обвинили в создании контрреволюционной организации. Поводом послужило то, что 1 июля 1937 года все они собрались в с. Зимарово на престольный праздник Боголюбской иконы Божией Матери, что было квалифицировано как «контрреволюционное собрание».
Непосредственно отца Михаила обвинили в том, что он проводил антисоветскую и контрреволюционную деятельность, направленную на срыв всех проводимых мероприятий и озлобление колхозников против существующего советского строя. В следственном деле со слов одного из «сочувствующих власти» прихожан записано, что отец Михаил говорил: «Большевики живут только на обмане, расстреливают своих братьев, которые вместе с ними работали, а в Писании Божием так и сказано, что настанут времена: друг друга будут продавать, и брат будет стрелять брата, говорить будет ничего нельзя, так как камень, и тот будет предавать».
Следователь, проводивший допросы, настойчиво требовал от отца Михаила признательных показаний против себя и других священников. Отец Михаил в ответах неоднократно опровергал все обвинения следствия.
6 декабря 1937 года решением тройки при УНКВД по Рязанской области протоиерей Михаил Кобозев был приговорён к расстрелу.
Расстрелян 23 декабря 1937 года в тюрьме города Ряжска. Место захоронения отца Михаила неизвестно.
