В прошлую субботу в здании Президиума РАН состоялись лекции лауреата Нобелевской премии по физике 2004 года профессора Дэвида Гросса "Грядущие революции в фундаментальной физике" и академика Владимира Игоревича Арнольда "Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств", организованные в рамках проекта "Публичные лекции по физике и математике" фондом Дмитрия Зимина "Династия" при содействии Международного центра фундаментальной физики в Москве.
Лекция профессора Гросса была посвящена, пожалуй, самому интригующему разделу современной теоретической физики --- теории струн, ее мотивировкам и удивительным следствиям. Именно эти вопросы особенно интересны самой широкой аудитории, в частности, школьникам и студентам (которые составляли больше половины из числа присутствующих). Следует отметить, что доклад был прочитан очень простым и ясным языком --- многие из тех, кто взяли наушники для прослушивания синхронного перевода, так ими ни разу не воспользовались. Тем более что слушать профессора Гросса было очень интересно -- он не только крупный физик-теоретик, но и замечательный лектор, умеющий живо, увлеченно и при этом ясно и доходчиво объяснять отнюдь не простые вещи. Его доклад дал ощущение живой, активно развивающейся науки, творцами которой движет детское (в хорошем смысле) любопытство, желание узнать ответы на самые фундаментальные вопросы: как устроена наша Вселенная и как она развивалась.
Следует отметить отличную организацию и техническую поддержку лекции -- перед ее началом всем раздали подробный текст, кроме того, на протяжении лекции ее содержание иллюстрировалось богатым и удачным видеорядом.
Сам профессор Гросс в теорию струн пришел из теории сильного взаимодействия --- квантовой хромодинамики (КХД). В последней области он является соавтором открытия эффекта асимптотической свободы (означающего что кварки на малых расстояниях ведут себя как свободные частицы), ставшего важным свидетельством в пользу существования объединенной теории фундаментальных физических взаимодействий. За это открытие он (совместно с Франком Вилчеком и Дэвидом Политцером) получил Нобелевскую премию по физике 2004 года.
Лекцию профессор Гросс начал с описания впечатляющих успехов, достигнутых Стандартной моделью физики элементарных частиц. Напомним, что так называется квантовая теория трех (из четырех открытых к настоящему времени) фундаментальных взаимодействий --- электромагнитных, слабых и сильных (причем для первых двух построена единая калибровочная теория электрослабых взаимодействий). Стандартная модель прекрасно описывает природу --- достаточно сказать, что она работает в интервале расстояний от планковской длины до размеров Вселенной, которые различаются на 60 порядков! (Напомним, что планковские длина, энергия и время --- константы, полученные из скорости света, гравитационной постоянной и постоянной Планка и имеющие соответствующие размерности. Планковская длина чрезвычайно мала, энергия очень велика, а время невообразимо коротко).
Возникает естественный вопрос: если теория квантовых полей так замечательно описывает природу, зачем было вводить струны? Не следовало ли на этом завершить развитие физики фундаментальных взаимодействий, сосредоточившись на изучении объектов и явлений, которые несравнимо ближе к нашей повседневной жизни, чем планковские энергия и длина? Например, на науке о материалах, или, скажем, биологии?
Профессор Гросс напомнил в связи с этим, что одна из особенностей научного знания состоит в том, что чем больше мы узнаем, тем больше вопросов перед нами возникает и тем больше мы чувствуем свое собственное невежество. Вот список некоторых вопросов, которые возникли из Стандартной модели. Во-первых, не понятна причина, по которой все силы физики элементарных частиц описываются теориями неабелевых калибровочных полей Янга-Миллса. Во-вторых, в Стандартную модель входит набор констант, которые могут быть получены только из эксперимента, как например постоянная тонкой структуры, опеределяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия, которая равна приблизительно 1/137. Многие выдающиеся физики, например А. Эйнштейн, считали, что нужно искать такую терию, в которой не будет "свободных" переменных, т.е. значения подобных констант должны вытекать из структуры самой теории. В-третьих, экспериментально открыто три семейства фундаментальных составляющих материи --- кварков и лептонов, с весьма странными массами и смешиваниями, что тоже должно быть теоретически объяснено. Кроме того, много нерешенных вопросов связано с проблемой квантования гравитационного поля. Физики пока не видят способа ответить на эти (и другие) вопросы ни в рамках Стандартной модели, ни в рамках ее простых расширений. По-видимому, все это означает, что для построения физической теории, продолжающей работать на сверхмалых расстояниях и при сверхвысоких энергиях, требуются принципиально новые принципы. Такая теория также необходима для понимания процессов, происходивших на ранних стадиях эволюции Вселенной и в окрестности черных дыр.
Стандартную модель можно попытаться экстраполировать на все более высокие энергии, лежащие далеко за пределами современных возможностей наблюдения. При этом происходит нечто интересное: электрослабое взаимодействие, действительно слабое при низких энергиях (и соответственно больших расстояниях) при высоких становится сильнее, поскольку начинает меньше экранироваться виртуальными частицами, рождающимися в вакууме в силу квантовых законов. Сильное же взаимодействие ведет себя противоположным образом из-за упомянутого выше явления асимптотической свободы --- оно ослабевает при высоких энергиях и на коротких расстояниях. Все это указывает на то, что данные взаимодействия должны сливаться при сверхвысоких энергиях.
Помимо рассмотренных выше, в природе существует четвертая фундаментальная сила --- гравитация. Это --- чрезвычайно слабое взаимодействие при низкой энергии, но быстро растущее с ее увеличением, так что при достижении планковских масштабов оно выравнивается по интенсивности с другими рассмотренными выше силами. Кроме того, при таких энергиях должны проявляться квантовые эффекты, хотя в рамках квантовой теории поля проквантовать теорию Эйнштейна пока никому не удалось. Дело в том, что гравитация тесно связана с геометрией пространства-времени, а квантовые флуктуации последнего, похоже, не вписываются в рамки квантовой теории поля. Одна из возможностей --- предположить, что теория Эйнштейна не является полной, окончательной теорией гравитации, и описывает последнюю только на расстояниях, значительно превышающих планковскую длину, а для физики планковских масштабов нужна новая теория. С точки зрения Дэвида Гросса единственной работоспособной кандидатурой на эту роль является теория струн.
Струнная теория постулирует, что вместо точечных элементарных частиц в качестве базовой составляющей материи нужно рассматривать протяженную одномерную струну. Длина ее имеет планковский порядок, т.е. столь мала, что никакие современные микроскопы (в частности, ускорители частиц) не позволяют разглядеть ее внутреннюю структуру, отличить от точечной частицы. Однако, в отличие от последней, у струны есть внутренняя степень свободы: она может колебаться. В теории струн постулируется, что все наблюдаемые в природе фундаментальные частицы суть различные моды (гармоники) колебаний единственной струны.
Таким образом, в теории струн точечные частицы заменяются протяженными одномерными струнами. Однако во всем остальном теория струн не вносит радикальных изменений в начала физики. Это представляется весьма разумным: с большой вероятностью попытки построения физической теории изменением сразу нескольких фундаментальных принципов обречены на неудачу. Кроме того, обобщение на струны традиционных правил релятивистской квантовой механики происходит очень естественным образом.
Рассмотрим например принцип наименьшего действия, утверждающий в случае свободной классической частицы, что траектория реального движения ("мировая линия") --- это такая кривая в пространстве-времени, для которой "действие" (в случае свободной частицы это --- длина ее мировой линии в метрике пространства-времени) минимально. Т.е. свободные частицы движутся по геодезическим в (вообще говоря, искривленном) пространстве-времени, а в неискривленном -- просто по прямым. Ясно, что движущаяся одномерная струна будет заметать уже двумерную поверхность в пространстве-времени --- "мировой лист" или "мировую трубу", причем аналогом длины является площадь, которую и нужно минимизировать.
Ничего концептуально нового не происходит и при квантовании свободной струны --- фейнмановский формализм суммирования амплитуд вероятности по всевозможным траекториям переносится без принципиальных изменений.
Отличия струн от точечных частиц появляются при рассмотрении взаимодействий. Одним из способов описания взаимодействий в квантовой теории поля являются диаграммы Фейнмана. Рассмотрим например превращение пары частиц А и В в частицу С. Можно представлять, например, аннигиляцию электрон-позитронной пары с образованием фотона. Представляя частицы движущимися во времени, мы получим диаграмму, состоящую из вершины, в которой происходит взаимодействие, и трех пересекающихся в ней линий, отвечающих частицам. Вершина --- особая точка в диаграмме, поскольку это единственная точка, из которой можно двигаться в трех направлениях. Поэтому в рассматриваемой теории нужны дополнительные параметры, задающие амплитуду вероятности превращения взаимодействующих частиц, и эти параметры определяются из эксперимента. Следовательно, знания законов движения свободных частиц недостаточно для описания их взаимодействий.
В случае же струн аналогичную картину взаимодействия можно наглядно представить в виде поверхности --- т.н. "брючной диаграммы", в которой две "штанины" (отвечающие двум взаимодействующим струнам) сливаются (к "поясу") в одну. Где в этом случае происходит взаимодействие? Любая малая площадка такой поверхности ничем не отличается от другой площадки. Поэтому движение свободных струн автоматически включает имеющее топологический характер взаимодействие, и для описания последнего не нужно вводить никаких новых параметров.
Сейчас по крайней мере можно утверждать, что теория струн является логически непротиворечивым расширением предшествующей ей физики. Оптимисты даже считают, что она приведет к революции в физике, сопоставимой по масштабом с произведенными теорией относительности и квантовой механикой в начале XX века. Две последние теории тесно связаны с фундаментальными физическими постоянными --- скоростью света и постоянной Планка. Точнее, релятивистская физика переходит в классическую при малых скоростях, а квантовая --- при больших (по сравнению с постоянной Планка) значениях действия. Возможно, что теория струн подобным образом связана с третьей фундаментальной константой --- гравитационной постоянной. Действительно, теория струн дает естественную квантовую теорию гравитации, асимптотически сводящуюся на больших расстояниях к теории Эйнштейна. Кроме того, в струнную теорию включаются также все элементы стандартной модели --- калибровочные поля Янга-Миллса, кварки, лептоны и тому подобное. Вполне возможно, что именно в рамках струнной теории можно добиться искомого физиками объединения фундаментальных сил.
К достижениям струнной теории также можно отнести демонстрацию непротиворечивости квантовой теории и общей теории относительности. Английский астрофизик Стивен Хокинг показал, что черные дыры не являются абсолютно черными, а ведут себя как термодинамический объект с температурой, энтропией и излучением абсолютно черного тела. Однако это приводит к информационному парадоксу, противоречащему квантовой механике: при тепловом распаде черной дыры теряется информация, содержащаяся в поглощенной материи, в то время как оператор временной эволюции в квантовой механике унитарен. Теория струн позволяет разрешить этот парадокс (что признал недавно сам Хокинг) а также в некоторых случаях рассчитать энтропию черной дыры через число ее микросостояний, причем результат этих рассчетов согласуется с термодинамическим определением энтропии черной дыры, данным ранее Бекенштейном и Хокингом. Кроме того, есть надежда, что струнная теория поможет разрешить и другие парадоксы квантовой гравитации, например парадокс космологической сингулярности.
Струнные теории имеют ряд особенностей и связанных с ними проблем. Например, было обнаружено, что они не могут не включать дополнительных измерений. Поэтому требуется объяснить, почему эти измерения ненаблюдаемы. Одна из возможностей --- предположить, что Вселенная по дополнительным измерениям имеет очень маленькие размеры порядка планковских. Например, двадцать лет назад были найдены решения уравнений теории струн в десятимерном пространстве, согласующиеся со Стандартной моделью, в которых "лишние" шесть измерений компактифицированы в шестимерные замкнутые поверхности, называемые многообразиями Калаби-Яу (эти многообразия ранее изучались в алгебраической геометрии). Возможно также что мы не наблюдаем дополнительных измерений потому что сами привязаны к трехмерной "бране" (термин, происходящий от сокращенного слова "мембрана") --- поверхности, лежащей в мире с большим числом измерений.
Другая особенность струнной теории --- ее суперсимметричность при высоких энергиях. Этот термин означает, что в ней присутствует симметрия между бозонами (частицами с целым спином) и фермионами (частицами с полуцелым спином) --- частицами, имеющими разную квантовую статистику (напомним в связи с этим, что фермионы подчиняются многим известному из химии принципу запрета Паули). В частности, каждой наблюдаемой частице должна соответствовать суперчастица со спином, отличающимся на 1/2 (т.н. "суперпартнер"). Например, фермиону электрону (имеющему спин 1/2) должен отвечать бозон со спином 0, т.н. "селектрон", а бозону фотону (имеющему спин 0) --- фермион "фотино" со спином 1/2. Впервые предложенная именно в рамках теории струн (и только впоследствии перенесенная в квантовую теорию поля) концепция суперсимметрии обладает многими красивыми свойствами. Она позволяет объяснить иерархию элементарных частиц и важна с точки зрения гипотезы объединения фундаментальных взаимодействий. Однако чтобы объяснить реальный мир, нужно понять механизм нарушения суперсимметрии при малых энергиях --- ведь ни для одной частицы пока не был экспериментально обнаружен ее суперпартнер.
Теория струн также должна объяснить причину малости космологической постоянной, обусловливающей ускоренное расширение Вселенной. В отличие от квантовой теории поля, где этот параметр должен браться из эксперимента, в теории струн он может быть рассчитан теоретически. Однако эти вычисления дают для него сильно (на десятки порядков!) завышенные значения. Для объяснения этого противоречия некоторые физики привлекают антропный принцип, что сам профессор Гросс находит безвкусным и преждевременным. Он считает, что настоящее объяснение будет получено тогда, когда физики лучше поймут принципы, лежащие в основе теории струн. С его точки зрения состояние этой теории на сегодняшний день похоже на состояние квантовой теории непосредственно после появления модели Бора до формулировки принципов квантовой механики. Сейчас имеется много способов описания теории струн с использованием различных моделей, различного числа измерений, с различными степенями свободы, но пока нет понимания фундаментальных принципов динамики и симметрии, лежащих в основе этой теории.
Возможно, трудности теории струн связаны с тем, что сама концепция пространства-времени должна быть заменена на что-то более фундаментальное. Так считают многие теоретики, включая Эдварда Виттена. На это указывает например то, что в теории струн возможно варьирование числа пространственных измерений путем изменения константы связи. Также, непрерывно меняя параметры, можно изменять топологию пространства-времени. Кроме того, в теории струн не имеют смысла сколь угодно малые расстояния. Дело в том, что помимо квантовомеханической неопределенности при измерении расстояний, которая заставляет для более точного измерения использовать (например) световые лучи все более высоких энергий, есть также и струнная неопределенность, причиной возникновения которой является растяжение струн с ростом энергии. В какой-то момент струны (например фотоны, из которых состоят световые лучи), с помощью которых мы производим измерение, становятся больше расстояний, которые мы хотим измерить. Как следствие, минимальное расстояние, которое можно определить, имеет порядок планковской длины. Поэтому нет смысла говорить о длинах, меньших планковской. У теоретиков пока нет разумных идей, как можно формулировать физику если время не фундаментально, ведь традиционно физика понимается как наука о процессах, протекающих во времени. Если время и пространство --- производные понятия, то для завершения построения теории струн нужно понять, что за ними скрывается.
В этом месте своей лекции профессор Гросс напомнил фразу, приписываемую Демокриту: "By convention there is color, by convention there is sweetness, by convention there is bitterness. But in reality there are atoms and spaces" ("Сладкое только считается таким, горькое только считается таким, теплое только считается таким, холодное только считается таким, цвет только считается таким, в действительности же - атомы и пустота"). Теперь ее, по мнению Дэвида Гросса, следует заменить на "By convention there is space, by convention there is time. But in reality..." ("Пространство и время суть условности. Реально лишь...").
Как я уже отмечал выше, большую часть слушателей составляли очень молодые люди --- школьники и студенты. И это, по-видимому, весьма символично: струнная теория скорее всего потребует усилий не одного поколения физиков и математиков. Именно им предстоит найти правильное продолжение фразы, начало которой произнес профессор Гросс.
В заключении своей лекции Дэвид Гросс сказал (показав неординарное чувство юмора): "Шесть лет назад я говорил, что успеха теории струн придется ждать до следующего тысячелетия; сегодня же я более оптимистичен: я верю, что он придет еще в этом тысячелетии".
Второй докладчик --- академик Владимир Игоревич Арнольд, наверное, не нуждается в специальном представлении. Он --- один из самых цитируемых математиков, внесший фундаментальный вклад в такие области математики как теория динамических систем, теория особенностей, топология и другие. Как лектор и автор учебников по математике он известен своим неповторимым стилем, умением ясно и геометрично выявить самую суть математических теорем, а также глубокие связи между разными теориями. В его изложении математика --- очень богатая яркими идеями и неожиданными аналогиями, захватывающая наука. Кроме того, он также уделяет много внимания вопросам преподавания математики в школе и, более глобально, судьбе математической науки в России и в мире.
Данная его лекция была посвящена определению понятия сложности для конечных последовательностей нулей и единиц. Общепризнанное в математике определение сложности последовательности (не обязательно конечной) принадлежит учителю Владимира Игоревича --- Андрею Николаевичу Колмогорову. Несколько упрощая, можно сказать, что колмогоровская сложность последовательности --- это длина кратчайшей программы, которая ее генерирует. Подход В.И. Арнольда основан на совсем других идеях, и коротко, без математических деталей, может быть описан следующим образом.
Для данного натурального n рассмотрим всевозможные последовательности длины n, состоящие из нулей и единиц. Их количество равно в точности 2 в степени n. Для наглядности будем представлять их записанными на окружности против часовой стрелки. Нам удобно рассматривать эти последовательности как векторы n-мерного пространства над полем из двух элементов. Рассмотрим линейный оператор взятия разности соседних чисел в последовательности. Операции определены у нас по модулю 2 (т.е. 1-0=1=0-1, 1-1=0=0-0). Таким образом, для каждой последовательности мы получаем новую последовательность той же длины n (в этом смысл записи их на окружности), также состоящую из нулей и единиц. Рассмотренную процедуру можно итерировать, и изучать при этом поведение разных последовательностей. Например, некоторые из них через конечное число шагов приведут к последовательности, состоящей из одних нулей. Для того, чтобы охватить поведение всех последовательностей при применении разностного оператора, удобно нарисовать ориентированный граф, вершинами которого являются последовательности, и если последовательность x переходит в последовательность y, то соответствующие им точки мы соединяем ребром.
Полученный граф распадается на компоненты связности, каждая из которых имеет цикл, и притом только один. В качестве меры сложности последовательности рассматривается положение соответствующей ей вершины в графе. А именно, последовательность x считается более сложной, если длина цикла содержащей ее компоненты графа больше. В пределах компонент с циклами данной длины вершины будут считаться тем более сложными, чем дальше они удалены от цикла.
Данное определение сложности можно обосновать следующим образом. Посмотрим на последовательность как на функцию, определенную на множестве из n точек и принимающую значения 0 и 1. Оператор разности в данном случае можно рассматривать как дискретный аналог оператора дифференцирования. Самые простые функции --- это константы x=0 и x=1. Они принадлежат одной связной компоненте (последовательность из единиц переходит в последовательность из нулей), содержащей цикл периода 1 (отвечающий x=0), а расстояние до цикла равно 0 для x=0 и 1 для x=1 (так что константа 0 проще константы 1). Напомним, что "обычные" многочлены степени меньше d --- это в точности функции, d-кратное дифференцирование которых дает нуль. Аналогично определим понятие функции-многочлена в нашем случае, с заменой оператора дифференцирования на разностный оператор. Легко понять, что граф, отвечающий всем многочленам, представляет собой компоненту связности цикла x=0 периода 1. Более того, он является бинарным корневым деревом.
Однако функции не исчерпываются многочленами, и именно среди таких функций содержатся самые сложные. Например, В.И. Арнольд показал, что одной из самых сложных функций является аналог логарифма (точнее, функция, называемая символом Лежандра и хорошо известная в теории чисел).
Вообще, рассматриваемый В.И. Арнольдом подход обладает большой притягательной силой, особенно для юных математиков. Он очень хорошо иллюстрирует отстаиваемый им тезис о том, что математика, подобно физике --- экспериментальная наука (только эксперименты в ней несравненно дешевле). Дело в том, что в рассматриваемой теории можно проделать множество элементарных, доступных даже школьникам вычислений с разными n (например, построить соответствующие графы), сформулировать полученные закономерности и попытаться их доказать. На этом пути самим В.И. Арнольдом а также его учениками было доказано множество теорем и сформулировано множество гипотез. Вся эта наука имеет также интересные и неожиданные связи с теорией чисел или например с нормальной формой операторов над полем из двух элементов. Кроме того, она очевидным образом обобщается на другие конечные поля.
Надо отметить, что доклад был сделан в очень живой манере, было много вопросов в зал, и судя по реакции последнего, доставил большое удовольствие, особенно той (весьма значительной) части аудитории, которая состояла из школьников и студентов.
Андрей Ершов
