Математика на ладони

Издательства «КоЛибри» и «Азбука-Аттикус» представляют книгу Джонни Болла «Математика на ладони. Чудеса с числами — просто и ясно» (перевод Дмитрия Прокофьева).

В этой книге Джонни Болл — популярнейший британский телеведущий и страстный популяризатор точных наук — в легкой и увлекательной форме рассказывает о математике: о ее истории и практическом применении, о математических играх и головоломках, о том, какой живой и нескучной может быть эта наука, даже если в школе вас убедили в обратном. «Я взялся написать эту книгу так, чтобы она пришлась по душе читателям любого калибра — молодым и старым, ученым и неученым. Как сказал однажды Эйнштейн: "Если вы не можете объяснить вещь семилетнему ребенку, значит, вы сами ее не понимаете". Надеюсь, что моя книга станет вам и вашим друзьям надежным спутником, который поможет увидеть математику, да и весь мир в более ясном и, по возможности, благоприятном свете. Математика делала мою жизнь богаче на всех ее этапах; позвольте ей обогатить и вашу», —  говорит Джонни Болл.

Предлагаем прочитать фрагмент книги.

Размышления о радугах

Декарт исследовал и объяснил математически образование радуги. Он рассуждал так: известно, что если человек наблюдает радугу, то Солнце, голова наблюдателя и центр дуги радуги находятся на одной прямой (отсюда, кстати, следует, что ту радугу, которую видите вы, не видит больше никто, — см. рис. 12.4). Параллельные солнечные лучи проходят над наблюдателем, попадают в капли воды, находящиеся в воздухе, отражаются от задней поверхности капель и возвращаются в глаз наблюдателя. Это происходит только под определенным углом, и поэтому радуга имеет форму окружности.

От этой окружности нам обычно видна лишь дуга, поскольку остальное заслоняется землей. Но если смотреть из самолета на облака внизу, иногда можно увидеть всю окружность радуги; в центре будет видна тень самолета.

Вообще-то угол, под которым луч отражается от капли воды, зависит от цвета. Синие лучи отражаются под углом около 40 градусов, а красные лучи видны в радуге выше, потому что они отражаются под углом 42 градуса. Этот угол называют каустическим[1], потому что отраженные под этим углом лучи создают яркую полоску.

Рис. 12.4

По-видимому, Декарт сосредоточился только на красной, самой яркой полоске. Объяснение всей радуги дал впоследствии Исаак Ньютон. Но Декарт исследовал еще один феномен: иногда вокруг первой радуги можно видеть вторую, более бледную и с обратным порядком цветов. Декарт справедливо предположил, что в этом случае солнечный свет, идущий к глазу наблюдателя, отражается в каждой капле воды два раза. Поскольку каждое отражение приводит к потере яркости, вторая радуга всегда бледнее первой. Кроме того, можно заметить, что небо между красными полосками двух радуг всегда темнее. В 1800 г. сэр Уильям Гершель (прочитав «Оптику» Ньютона) объяснил это явление тем, что в промежутке между радугами мы смотрим на невидимое — инфракрасный свет (это тот самый вид света, который кажется нам черным в остывающих углях — уже не красных, но еще пышущих жаром).

Декарт исследовал также преломление света при переходе из воздуха в другую среду — например, воду или стекло. Правда, в этом явлении он разобраться не смог, потому что уподоблял свет теннисным мячам и предполагал, ошибочно, что скорость света бесконечна. Однако еще до Декарта голландец Виллерборд Снелл (1580–1626) выяснил, что на самом деле происходит со светом на границе — его открытие теперь называется законом Снеллиуса[2]. Когда свет распространяется в воздухе и доходит до границы другой среды — например, воды, — световые лучи преломляются: они отклоняются на некоторый угол, приближаясь к перпендикуляру, потому что вода плотнее воздуха. Угол, под которым свет приближается к поверхности воды, называют углом падения (i), а соответствующий угол в воде — углом преломления (r). Показатель преломления между воздухом и водой приблизительно 1,33; это значит, что для света, падающего из воздуха на воду под небольшим углом i, угол r будет в 1,33 раза меньше.

Рис. 12.5

Обычно мы не отдаем себе отчета, что свет, входя в воду, изменяет направление, приближаясь к перпендикуляру; поэтому бассейн с водой, на наш взгляд, всегда кажется более мелким, чем на самом деле. Начертив две полуокружности, Снелл показал, как по известным углам падения и преломления одного светового луча (А — А′ на рис. 12.5) можно рассчитать угол преломления луча, падающего под любым другим углом (В — В′ на том же рисунке). Впрочем, если луч скользящий (например, С — С′), свет по большей части будет отражаться от поверхности воды, а не проникать вглубь.

Декарт собирался выпустить книгу в поддержку системы Коперника, но после суда над Галилеем бросил эту идею, как горячий кирпич. Впоследствии, когда Декарт путешествовал по Италии, он не воспользовался случаем повидать Галилея; возможно, не хотел дразнить влиятельных людей в католической церкви (к которой и сам принадлежал). После этого он прожил 20 лет[3] в Нидерландах, в стране протестантской, но терпимой к католикам; в остальной Европе продолжала бушевать религиозная Тридцатилетняя война. Впоследствии многие находили странным, что Декарт поселился вдали от центров развития науки; высказывались подозрения, что он играл роль не то наблюдателя, не то даже шпиона, подосланного церковью. Однако Декарт отнюдь не терял связи с другими учеными и математиками. Главным посредником выступал его старый друг и однокашник — Марин Мерсенн (1588–1644).

В отличие от Декарта, Мерсенн выбрал по окончании школы La Flèche смиренную стезю: вступил в монашеский орден минимов. Тем не менее со временем Мерсенн приобрел огромное влияние в научных кругах. В ту эпоху еще не существовало научных журналов, и Мерсенн стал распространителем информации, написав тысячи писем ученым по всей Европе, от Шотландии до Стамбула и от Скандинавии до Испании, сообщая каждому обо всех последних достижениях. Начиная с Мерсенна развитие всех сторон математики пошло быстрее благодаря налаженному обмену свежими открытиями среди широкого круга исследователей.

Мерсенн в открытую поддерживал Галилея и Декарта. Он отвергал мистические концепции вроде астрологии и алхимии и утверждал, что истинный путь к познанию лежит через открытия, совершенные в результате тщательных экспериментальных исследований. Мерсенн заметил упущение Галилея — что тот не воспользовался маятником в своих опытах по измерению ускорения катящихся шаров, хотя и писал Гюйгенсу (о котором мы поговорим позже), что на основе маятника возможно создать более точные часы.

А еще Мерсенн составил формулу для нахождения простых чисел (так называемых простых чисел Мерсенна). Для очень больших чисел эта формула не работает, но она вдохновила других ученых на дальнейшие исследования теории чисел — в особенности так называемых совершенных чисел. Имеется в виду, например, число 6, потому что сумма его делителей (1, 2 и 3) — тоже 6; совершенным является и число 28: сумма его делителей (1, 2, 4, 7 и 14) — тоже 28.

Формула Мерсенна выглядит так: 2^р – 1. Обратите внимание, что здесь 1 вычитается из 2 в степени р; в формуле для совершенных чисел потом встречается также формула 2^{р – 1}, и это совсем другое число. Формула Мерсенна часто давала простые числа, когда число р — простое. И из этих простых чисел удавалось построить совершенные числа:

Здесь приведены первые семь совершенных чисел: сумма делителей каждого из этих чисел равна самому этому числу.