Проведенное недавно радиоуглеродное датирование показало, что индийский манускрипт, хранящийся в Оксфорде, значительно старше, чем считалось ранее. Теперь он претендует на звание самого древнего математического сочинения, где используется ноль. Хотя итоги исследования весьма неожиданны и еще не получили удовлетворительного объяснения. Об этом рассказывает The Guardian.
Письменный памятник, о котором идет речь, известен европейским ученым уже более века. Он называется «манускрипт Бакхшали» и принадлежат Бодлеанской библиотеке Оксфордского университета. Язык манускрипта описывают как смесь санскрита и пракрита, система письма – один из индийских слоговых алфавитов, восходящих к письму брахми, наиболее близок алфавиту шарада. Манускрипт Бакхшали написан на бересте. До наших дней он дошел не полностью, но все-таки сохранилось целых семьдесят листов.
Сочинение представляет собой учебник по математике в виде сборника правил и иллюстрирующих их задач (обычно на торговую тему). Правила и задачи изложены в стихах, комментарии к решениям – в прозе. Учебник охватывает такие темы, как дроби, арифметическая и геометрическая прогрессии, уравнения первой степени с одним неизвестным, системы линейных уравнений, квадратичные уравнения, неопределенные уравнения второй степени.
На одном из листов бересты сохранился колофон, сообщающий, что учебник был написан брахманом сыном Чаяки, «царем вычислителей», для Хасики сына Васиштхи. Возможно, брахман был лишь переписчиком текста. Рядом есть обрывок слова «…ртикавати», в котором исследователи видят топоним Мартикавата, упоминаемый в трудах индийского астронома и математика Варахамихиры (505 – 587). О Мартикавате известно, что это место находилось на севере Индии. Возможно, учебник был создан там.
Найден манускрипт был в 1881 году у деревни Бакхшади на территории нынешней пакистанской провинции Хайбер-Пахтунхва. По одним сведениям, его обнаружил крестьянин, по другим – заместитель деревенского полицейского. Некоторое время спустя документ попал в руки известного специалиста по древним письменным памятникам Индии Рудольфа Хёрнле. Тот начал исследование текста, но умер, не закончив работу. Изучение манускрипта продолжил английский ученый Джордж Расби Кэйе, который в 1927 году опубликовал книгу «Манускрипт Бакхшали: очерк средневековой математики».
Наибольшие проблемы вызывала у исследователей датировка манускрипта Бакхшади. Единственное, в чем согласно большинство авторов, это то, что текст представляет собой список более раннего оригинала. Хёрнле считал, что сам манускрипт был создан в IX веке, а оригинальный труд написан в III – IV веке. Кэйе, напротив, полагал, что манускрипт появился не ранее XII века. Индийские ученые склонны указывать более ранние даты, но и среди них нет единства. Одни называют I – II века, другие – III – V вв., третьи – не позднее VII века. До последнего времени исследователи в основном придерживались «золотой середины» между мнениями Хёрнле и Кэйе, датируя манускрипт VIII – IX веками.
Фото: Bodleian Libraries/ University of Oxford
Берестяные листы очень хрупкие, поэтому последние десятилетия Бодлеанская библиотека крайне неохотно допускало к манускрипту Бакхшали исследователей. В результате многие связанные с ним вопросы до сих пор не решены. Нет даже полной уверенности в том, в каком порядке располагались дошедшие до нас страницы.
Проведенное недавно исследование не сильно упростило ситуацию. Образцы для радиоуглеродного датирования были извлечены из трех берестяных страничек. И оказалось, что они имеют разный возраст, причем разница составляет века. Один образец относится к периоду с 224 по 383 год, другой – к 680 – 779 годам, а третий – к 885 – 993 годам. Теперь ученым предстоит ломать голову над загадкой, как береста разного времени оказалась в едином сборнике. Или объяснить столь странные итоги радиоуглеродного анализа какими-то другими факторами.
Но, если принять полученные даты, то окажется, что манускрипт Бакхшали стал самым ранним письменным памятником Индии, где используется ноль. Выглядит он в этом учебнике как точка и используется привычным для нас образом, обозначая отсутствие соответствующего разряда в позиционной десятичной системе счисления (например, в записи 101 – «одна сотня, ни одного десятка и одна единица»). Использовали ли авторы манускрипта знак ноля как самостоятельное число, неясно. Одна из сохранившихся задач имеет ответ ноль, но конечная часть решения оторвана.
Следует уточнить, что ноль в манускрипте Бакхшали с датой 224 – 383 годы – это только рекордно древний письменный памятник с использованием нуля. Само понятие нуля было известно индийским математикам и ранее. Просто их труды дошли до нас в значительно более поздних копиях.
Вероятно, одним из первых математиков, применявших ноль, был, возможно, Пингала (точные даты жизни неизвестны, предположительно III – II века до н. э.). Одно из индийских преданий называет его младшим братом знаменитого лингвиста Панини, тогда он жил еще раньше – в V веке до н. э. Пингала в трактате о стихосложении использует двоичную систему счисления, элементами которой служат долгий и краткий слоги. Ученые продолжают спорить, действительно ли Пингала применил понятие нуля или нет. Часть комментаторов сомневаются в этом, но в вышедшей в 2009 году книге Ким Плофкер «Математика в Индии» утверждается, что все-таки Пингала применял ноль как знак и, более того, первым использовал закрепившееся в индийской математике название ноля – śūnya, что буквально значит «пустота».
Первое применение нуля индийскими математиками в десятичной позиционной системе мы находим в джайнском трактате «Локавибхага» (Lokavibhāga). Сохранился средневековый санскритский перевод оригинала, написанного на одном из пракритов в 458 году (380 год эры Сака). Далее есть свидетельства использования нуля как цифры в V – VII веках, а подробно описанные правила использования нуля сохранились в труде «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы») астронома и математика Брахмагупты (около 580 – 670), применявшего не только ноль, но и отрицательные числа. Правда, в некоторых случаях Брахмагупта обращался с нулем непривычным для нас образом. Например, он считал, что ноль деленный на ноль равен нулю.
В индийских надписях на камне знак нуля (все так же маленькая точка, что и в манускрипте Бакхшали) встречается неоднократно, предположительно с VI века, но точная датировка этих надписей редко возможна. С уверенностью можно говорить лишь о более поздней надписи, она найдена в храме Чатурбхудж в городе Гвалиор и относится к 876 году. Более ранняя датированная надпись обнаружена не в Индии, а в Камбодже. На каменной плите в храме в Самборе (провинция Кратьэх) кхмерскими цифрами указана дата – 605 годы эры Сака, что соответствует 683 году нашей эры. Ноль там обозначен тоже маленькой точкой.
В заключение следует добавить, что все эти ранние свидетельства нуля относятся только в математике Старого Света. Народ майя изобрел ноль значительно раньше индийцев, в надписях на камне он встречается как минимум с II в. н.э. Однако и у майя этот знак употребляется в случае, если отсутствует неверхний разряд числа (только не в десятичной, а в двадцатеричной записи), а как устроено у них устроено начало отсчета прямых сведений нет. Отсутствие разряда умели обозначать уже в древней Месопотамии, так что в этом смысле ноль употреблялся и там.
Ну а манускрипт Бакхшали можно будет увидеть с 4 октября этого года в лондонском Музее науки, когда там откроется выставка Illuminating India: 5000 Years of Science and Innovation.
