Издательства «КоЛибри» и «Азбука-Аттикус» представляют книгу израильского математика Хаима Шапира «Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение» (перевод Дмитрия Прокофьева).
Математические формулы — такое же чудо, как и гениальные произведения великих композиторов и писателей, утверждает автор нескольких бестселлеров, математик и философ Хаим Шапира. Всем, кто желает расширить свой кругозор, он предлагает ознакомиться с математическими теориями, касающимися самой красивой из концепций, когда-либо созданных человечеством, — концепцией бесконечности. Эта концепция волновала многих выдающихся мыслителей, среди которых Зенон и Пифагор, Георг Кантор и Бертран Рассел, Софья Ковалевская и Эмми Нётер, аль-Хорезми и Евклид, Софи Жермен и Сриниваса Рамануджан. Поскольку мир бесконечности полон парадоксов, немало их и в этой книге: апории Зенона, гильбертовский отель «Бесконечность», парадокс Ахиллеса и богов, парадокс Рая и Ада, парадокс Росса — Литлвуда о теннисных мячах, парадокс Галилея и многие другие.
«Я расскажу читателю-неспециалисту просто и ясно о двух математических теориях, которые считаю самыми завораживающими, — теории чисел и теории множеств, и каждая из них имеет отношение к бесконечности. Вместе с этим я предложу стратегии математического мышления, позволяющие читателю испытать свои способности к решению поистине увлекательных математических задач», — говорит автор.
Предлагаем прочитать фрагмент книги.
Капрекар раскрывает тайны числа 6174
Индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар родился в 1905 г. Он закончил Мумбайский университет[1] и посвятил себя преподавательской работе. Он проработал школьным учителем несколько десятилетий, но так никогда и не изучал высшую математику. Он внес вклад в развитие нескольких разных областей — в том числе магических квадратов, периодических десятичных дробей и целых чисел с особыми свойствами. Он открыл несколько замечательных свойств чисел, но при жизни так и не получил признания. Лишь совсем недавно его вклад в теорию чисел был оценен по достоинству: в знак запоздалого признания его именем была названа постоянная.
Постоянная Капрекара
В 1949 г. Капрекар установил, что число 6174 можно считать пределом последовательности следующих операций. Возьмем любое четырехзначное число, не все цифры которого одинаковы. Переставим его цифры так, чтобы получить наименьшее и наибольшее из возможных чисел. Вычтем меньшее число из большего. Если их разность равна 6174, процесс завершен. Если нет, повторим те же действия. В конце концов всегда получается 6174.
Попробуем проделать это с номером года, в котором я начал писать эту книгу, — 2009. Наибольшее число, которое можно образовать из этих четырех цифр, — 9200, а наименьшее — 0029. Вычтем 29 из 9200 и получим 9171.
Повторим эту процедуру: 9711 – 1179 = 8532.
Продолжим: 8532 – 2358 = 6174. Наши поиски завершены: в конце пути нас с самого начала поджидало число 6174.
На математическом языке 6174 называется «неподвижной точкой», что означает следующее: если мы подставим в этот процесс само это число, мы снова вернемся к нему же. Проверим:
7641 – 1467 = 6174. Действительно, дальше дороги нет; путешествие подошло к концу.
А что, если немного схитрить? Получится ли этот же фокус с числом, в котором есть три одинаковые цифры? Скажем, с числом 1112? Давайте попробуем.
2111 – 1112 = 999
Поскольку мы работаем с четырехзначными числами, запишем результат в виде 0999.
9990 – 0999 = 8991
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
Вот мы и на месте.
Если кому-нибудь из вас остро требуется трудотерапия, можете попробовать проделать это с какими-нибудь другими числами.
Теперь у нас появилась превосходная возможность поставить свой собственный маленький математический эксперимент. Что получится, если использовать не четырехзначные, а трехзначные числа?
Попробуем, например, взять число 169.
961 – 169 = 792
Кстати, 169 = 132, а 961 = 312. Но не будем отвлекаться.
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495
Мы пришли к неподвижной точке (проверьте, что это так!). Неужели мы открыли постоянную Капрекара для трехзначных чисел? Именно это мы и сделали! Если вы увлекаетесь алгеброй, вам не составит особого труда доказать это утверждение.
Перейдем к двухзначным числам. С ними-то всё должно быть совсем легко, правда?
Начнем с одного из моих любимых чисел — 17.
71 – 17 = 54, 54 – 45 = 9, 90 – 9 = 81, 81 – 18 = 63, 63 – 36 = 27, 72 – 27 = 45, 54 – 45 = … Минуточку! Здесь мы уже были! Что происходит? На самом деле мы пришли к точке периодичности. Для двухзначных чисел неподвижной точки не существует.
Головоломка
А что получается с пятизначными числами? А с шестизначными?
Числа Капрекара
Капрекар обнаружил, что некоторые числа обладают одним необычным свойством: если возвести такое число в квадрат, то получившееся число можно разбить на две части, сумма которых будет равна исходному числу. Эта концепция станет яснее, если привести несколько примеров:
92 = 81; 1 + 8 =9;
452 = 2025; 20 + 25 = 45;
9992 = 998 001; 998 + 001 = 999;
27282 = 7 441 984; 744 + 1984 = 2728;
818 1812 = 669 420 148 761; 669 420 + 148 761 = 818 181.
Числа 9, 45, 999, 818 181 — и многие другие — относятся к сообществу «чисел Капрекара». Вы можете запустить на своем компьютере простую программу, которая познакомит вас со многими другими представителями этого сообщества.
Головоломка
Докажите, что числа 9, 99, 999 и 9999 — это числа Капрекара.
Древняя индийская задача
Найдите следующее число в последовательности:
1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49…
Подумайте несколько минут. Если вы не сможете решить эту задачу, ответ можно найти в примечаниях в конце книги.
Интересная особенность этой задачи заключается в том, что ее обычно бывает трудно решить почтенным математикам, потому что они углубляются в поиски сложных идей. Легче всего эта задача дается умным детям.
Капрекар заметил, что некоторые числа можно получить сложением меньшего числа с суммой его цифр, а для других чисел это оказывается невозможным. Например, число 40 можно получить этим методом, взяв 29 (2 + 9 = 11, 29 + 11 = 40).
Но число 20 таким образом получить невозможно, с какого бы числа мы ни начинали (проверьте, так ли это).
Капрекар сформулировал критерий, по которому можно определить, какие числа невозможно получить при помощи этого метода[2]. Я не хочу лишать вас удовольствия самостоятельно воссоздать этот критерий. Дам лишь небольшой совет: найдите первое число, удовлетворяющее этому критерию, и попытайтесь вывести общее правило.
