С восприятием математики современной публикой связана серьезная проблема. У всех наук есть значительное отличие между теми базовыми знаниями, которые худо-бедно, но получает выпускник средней школы, и последними достижениями ученых. Но для математики это отличие превращается в зияющую пропасть. В результате ученых математиков публика считает людьми, занимающимися чем-то очень сложным и непонятным простому смертному (что справедливо) и не имеющим никакого отношения к обычной жизни (а вот это неверно и очень обидно).
Решить эту проблему пытаются авторы популярных книг, но приходится им непросто. Нужно изложить для неподготовленного читателя сложный материал, не заставляя его предварительно проштудировать несколько толстых учебников и решить массу задач. Авторы выбирают разные способы решения. Можно, попытаться обойтись совсем без демонстрации теорем и решения задач, просто рассказывая в декларативном стиле о том, что может делать математика в разных областях нашей жизни. Мост через пропасть в краткий срок построить невозможно, но вместо него можно соорудить наблюдательную вышку, с которой читатель разглядит отдельные детали противоположного берега.
Другие авторы предлагают читателю пройти по мосту и терпеливо сопровождают его в этом пути. Им удается рассказать больше и в итоге обеспечить более глубокое понимание читателем сути рассказа. Но при одном условии: если этот читатель пройдет весь путь. А сделать это ему сложно. В качестве примера такого течения в математической популярной литературе можно привести знаменитую серию «Библиотечка “Квант”», книги которой совершенно замечательны, но в среднем рассчитаны на уже несколько продвинутого адресата, например, ученика математической школы.
Ни один из этих способов не плох. Более того, в идеальной ситуации на полках с научно-популярной литературой должны присутствовать и “легкие”, и “тяжелые” книги (это верно не только для математики, но и для любой другой науки). Мне бы хотелось рассказать о недавно появившейся книге, авторам которой, на мой взгляд, удалось нащупать удачный средний путь в рассказе неподготовленному читателю о самой современной математике. Называется эта книга «Кому нужна математика?», а написали ее два профессора математики: Нелли Литвак, работающая в нидерландском Университете Твенте, и Андрей Райгородский из Московского физико-технического института.
«Военные афоризмы» Фаддея Козьмича Пруткова имели подзаголовок «для господ штаб- и обер-офицеров с применением к понятиям и нижних чинов» (такой текст воспроизводит реальные подзаголовки пособий по военному делу XIX века). Нелли Литвак и Андрей Райгородский сумели написать книгу, где найдется что-то для «обер-офицеров» – относительно продвинутых читателей, но содержание ее вполне доступно и для «нижних чинов».
Основной текст книги не требует никаких математических знаний сложнее понятий возведения в степень, извлечения корня, логарифма и построения графика на осях координат. Его может прочитать и понять любой. Причем авторы проявили большое искусство, сумев не только рассказать о существовании различных разделов математики и их практическом применении, но и разобрать конкретные математические примеры и несложные доказательства.
Для «обер-офицеров» предназначены приложения к каждой из глав книги. Там даны строгие формулировки доказательства многих упомянутых в основном тексте теорем, отдельные вопросы рассмотрены подробнее. Для освоения этого материала требуется чуть больше знаний, но требования все-таки не запредельные. Адресат этих приложений – старшеклассники, увлекающиеся математикой. Во многих местах авторы указывают читателю путь к углублению знаний, сообщая о нужных книгах, видеокурсах и математических блогах.
Выбранный способ позволил авторам рассказать о нескольких разделах современной математики. Разбор конкретных областей начинается с главы, посвященной задачам планирования – сфере деятельности логистики. Как с минимальными расходами доставить товары, учитывая наличие их на складах и расстояния до цели. Какие математические методы используются для составления железнодорожных расписаний. В результате читатель знакомится с такими разделами математики, как исследование операций и линейное программирование.
Следующая глава описывает основы теории информации и кодирования, без которой немыслим современный компьютерный мир. Читатель с удивлением узнает, что существуют коды, способные исправлять ошибки в переданном сообщении, и поймет принцип работы таких кодов.
Далее следует рассказ о передаче данных по компьютерным сетям и проблеме устойчивости этих сетей (сколько линий связи должно отключиться, чтобы пользователи интернета утратили доступ к его узлам). Рассказывая об этом, авторы знакомят нас с теорией случайных графов.
Продолжается тема компьютерных сетей рассказом о том, что происходит, когда пользователь загружает веб-страницу. Читатель узнает, как сервера обрабатывают запросы и какие способы есть, чтобы оптимально распределить нагрузку на узлы сети. Все это приводит к обсуждению основных достижений теории массового обслуживания, которая возникла в начале XX века из решения практических вопросов о работе телефонных станций, а в наши дни применима в любой ситуации, где возникает очередь: от очереди к кассе супермаркета до очереди запросов к серверу интернета.
Глава «Секретные числа» посвящена криптографии. Из нее можно узнать о шифрах с открытым ключом о симметричных криптосистемах, а также о том, какую практическую пользу стало в XX веке приносить изучение простых чисел. Как проводятся подсчеты при анализе большого количества данных, читатель узнает из главы «Счетчики с короткой памятью». Наконец, достижения теории аукционов описаны в главе, где рассказывается, как функционирует рынок рекламы в поисковых системах. Мы узнаем, как Google или Яндекс определяют, какие рекламные объявления должен увидеть пользователь рядом с ответами на свой запрос, и какие математические методы могут применить, как поисковые системы, так и компании, желающие разместить рекламу оптимальным образом. Особое достоинство книги состоит в том, что авторы сообщают не только о победах математиков во всех этих областях, но и говорят, какие проблемы еще не решены.
Для своего рассказа авторы выбрали сферы математики, связанные с компьютерами и интернетом (но не только с ними). Немного жаль, так как было бы очень интересно услышать о математической основе и других современных технологий: медицинской томографии или спутниковой навигации. Но зато эти темы остались для других книг.
Признаюсь, Нелли Литвак и Андрей Райгородский смогли развеять некоторые мои заблуждения. Мне казалось, что значительный рост быстродействия компьютеров привел к некоторому упадку умения людей. Условно говоря, программисту уже не надо придумывать алгоритм, который за минимальное число операций сравнения определит из большого количества целых чисел десять самых меньших. Он просто заставит компьютер сравнить их все между собой. Однако это оказалось неверным. В эксперименте, проведенном в 2007 году американским ученым Робертом Бикси, были использованы все версии программного пакета CPLEX, предназначенного для решения задач из области линейного программирования, созданные с 1992 года. Их запускали на одном и том же компьютере и предлагали большой набор задач. Как оказалось, скорость решения возросла в 29 000 раз. Еще более новые алгоритмы к 2012 году увеличили скорость решения еще в 16,2 раза. Таким образом, общий рост с 1992 по 2012 год составил 29 000 16,2 = 469 800 раз. Напомним, программы работали на одном и том же компьютере, следовательно, прогресс достигнут за счет совершенствования математических алгоритмов. Так что успехи современных компьютеров обеспечивается не только ростом мощности процессоров. Более того, вклад математики в этот прогресс даже весомее. Ведь, согласно закону Мура («мощность процессоров увеличивается вдвое каждые 18 месяцев»), компьютеры за 1992 – 20012 годы ускорились лишь примерно в 8000 раз.
Завершая рассказ о книге, хочу исправить одну допущенную в ней неточность. Когда в книге упоминается t-критерий Стьюдента, авторы говорят, что в наши дни его не проходят разве что на филфаке. Как человек, сдавший математическую статистику на филфаке со второй попытки, могу уверить – t-критерий там изучают, хотя и не все.
Выходные данные книги:
Литвак Н., Райгородский А. Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир. М.: «Манн, Иванов и Фербер». 2017.
