Издательство «Манн, Иванов и Фербер» при поддержке фонда «Эволюция» выпустило книгу когнитивного психолога, профессора Университета Макгилла в Монреале Дэниела Левитина «Путеводитель по лжи. Критическое мышление в эпоху постправды». В ней автор демонстрирует приемы, которые часто используются для манипуляций с численными данными, и способы, которыми можно проверить утверждения, распространяемые средствами массовой информации. Основываясь на том, что людям свойственно применять критическое мышление только к тому, с чем они не согласны, Левитин демонстрирует, как людей можно «обмануть и ввести в заблуждение цифрами и логикой» и предлагает стратегии для распознавания когнитивных предубеждений и логических ошибок
С разрешения издательства мы публикуем отрывок из этой книги, посвященный различным манипуляциям с использованием «среднего значения».
Чехарда со средними
Среднее значение может быть весьма полезно, да и разобраться с ним проще, чем с круговой диаграммой. Оно позволяет нам охарактеризовать огромное количество информации одним-единственным числом. Например, мы хотим узнать среднее благосостояние людей в комнате, чтобы понять, принесет ли встреча с ними какую-нибудь пользу нашим фандрайзерам* или менеджерам по продажам. Другой пример: мы хотим узнать среднюю цену на бензин, чтобы оценить, во сколько обойдется поездка на машине из Ванкувера в Банф. Однако средние могут быть обманчиво сложными.
Есть три вида средних, и они могут выражаться разными числами. Поэтому те, кто всерьез занимается статистикой, избегают слова «среднее», отдавая предпочтение другим, более точным терминам, как то: среднее арифметическое, медиана или мода. И только так. Иногда все эти величины совпадают, но чаще они различаются. Если вам встретилось слово «среднее», оно, как правило, означает «среднее арифметическое», но нельзя быть в этом абсолютно уверенным.
Чаще других из этих трех встречается среднее арифметическое; оно равно сумме всех данных, поделенной на их количество. Например, среднее благосостояние всех людей, находящихся в комнате, будет равно их общему благосостоянию, поделенному на количество человек. Если в комнате находится десять человек, состояние каждого из которых оценивается в 100 тысяч долларов, то общее богатство составит миллион. Отсюда легко вычислить среднее арифметическое (даже доставать калькулятор не нужно): 100 тысяч долларов. А если состояние каждого присутствующего будет варьироваться от 50 тысяч до 150 тысяч долларов, но общее количество будет по-прежнему миллион, то среднее арифметическое по-прежнему будет 100 тысяч долларов (потому что мы просто разделим миллион на десять, не принимая во внимание, сколько денег на счете у каждого).
Медиана — это число в середине упорядоченного набора чисел (статистики называют его выборкой): половина данных находится ниже этого значения, а половина выше. Как вы помните, смысл среднего значения в том, чтобы охарактеризовать весь объем данных одним-единственным числом. Медиана лучше с этим справляется, если некоторые из ваших данных уж очень отличаются от большинства, статистики называют такие значения выбросами.
Представим себе комнату, в которой находятся девять человек; состояние восьмерых из них равно примерно 100 тысяч долларов, а один находится на грани банкротства, его долг равен 500 тысячам долларов. Вот что у нас получится:
Человек 1: –500 тыс. долл.
Человек 2: 96 тыс. долл.
Человек 3: 97 тыс. долл.
Человек 4: 99 тыс. долл.
Человек 5: 100 тыс. долл.
Человек 6: 101 тыс. долл.
Человек 7: 101 тыс. долл.
Человек 8: 101 тыс. долл.
Человек 9: 104 тыс. долл.
Теперь складываем все показатели и получаем общую сумму в 299 тысяч долларов. Разделим это число на общее количество участников, девять, и получится, что среднее арифметическое равно 33 222 долларам. Создается, однако, впечатление, что среднее арифметическое — не лучший способ охарактеризовать данные о присутствующих. Смею предположить, что фандрайзер не захочет наносить им визит, если среди них найдется человек с показателем-выбросом, который тянет вниз всю группу. В этом и заключается вся трудность работы со средним арифметическим: оно слишком чувствительно к выбросам.
Медиана здесь равна 100 тысячам долларов: четверо зарабатывают меньше этой суммы, а четверо — больше. Мода равна 101 тысяче долларов — это та цифра, которая появляется намного чаще других. И медиана, и мода в этом конкретном примере оказываются гораздо показательнее.
Можно по-разному использовать средние, особенно если вы хотите, чтобы кто-то увидел в ваших данных то, что нужно вам.
Давайте представим, что вы с двумя друзьями запустили стартап — небольшую компанию, в которой работают пять человек. Сейчас конец года, вы собираетесь подвести финансовые итоги и рассказать сотрудникам, как у компании идут дела, чтобы они почувствовали удовлетворение от долгих часов, проведенных в офисе, и от холодной пиццы, съеденной за это время. А еще вы хотите привлечь инвесторов. Скажем, четверо сотрудников — все программисты — за год заработали по 70 тысяч долларов, а один — офис-менеджер — 50 тысяч. Это даст среднее арифметическое зарплат, равное 66 тысячам долларов в год: сумма (4 × 70 000) + (1 × 50 000), поделенная на 5. Вы и двое ваших друзей принесли домой по 100 тысяч долларов — это ваша зарплата. Следовательно, общая сумма выплаченных зарплат составит (4 × 70 000) + (1 × 50 000) + (3 × 100 000) = 630 тысяч долларов. Кроме того, пусть ваша компания принесла 210 тысяч долларов чистого дохода, который вы разделили поровну между собой и соучредителями в качестве бонусов, это дает каждому из вас по 100 тысяч + 70 тысяч. Как вы им об этом сообщите?
Вы могли бы сказать:
средняя зарплата сотрудников составляет 66 тысяч долларов;
средняя зарплата + прибыль владельцев составляет 170 тысяч долларов.
И хотя это правда, вряд ли новость понравится кому-нибудь, кроме вас и вашей мамы. Если ваши подчиненные прознают об этом, то решат, что им существенно недоплатили. А потенциальные инвесторы сочтут, что учредителям платят слишком много. Поэтому вы можете оформить отчет по-другому:
средняя зарплата сотрудников составляет 66 тысяч долларов;
средняя зарплата владельцев составляет 100 тысяч долларов;
прибыль: 210 тысяч долларов.
Для потенциальных инвесторов это выглядит убедительнее, тем более что им можно и не говорить о том, что вы поделили прибыль между совладельцами. А сотрудникам последнюю строку можно и вовсе не показывать. Каждый из четырех программистов будет думать, что он на хорошем счету и его ценят, так как зарабатывает он больше, чем большинство. Единственный, кто будет не очень доволен, — ваш офис-менеджер. Но ведь девушка и раньше понимала, что программисты зарабатывают больше нее. Теперь представим: вы чувствуете, что перегружены работой, и хотите уговорить ваших партнеров, которые не сильны в критическом мышлении, что вам нужно нанять еще сотрудников. Вы можете поступить так же, как в таком случае делают многие компании, и заявить о «прибыли на одного сотрудника», поделив прибыль компании, равную 210 тысячам долларов, на пятерых:
средняя зарплата сотрудника: 66 тысяч долларов;
средняя зарплата владельцев: 100 тысяч долларов;
годовая прибыль на одного сотрудника: 42 тысячи долларов.
Теперь вы можете заявить, что 64 % зарплаты, которую вы выплачиваете своим сотрудникам (42 000 / 66 000), возвращаются к вам в виде прибыли, и это означает, что в итоге, получив прибыль, вы должны будете выплатить только 36% их зарплат. Конечно, эти данные не свидетельствуют о том, что, наняв еще сотрудников, вы увеличите прибыль. Но в глазах того, кто не очень силен в критическом мышлении, это выглядит как весомый довод для увеличения штата.
А что, если вы хотите выглядеть невероятно честным и справедливым работодателем и показать, что разница между вашей прибылью и зарплатой ваших сотрудников довольно разумна? Возьмите прибыль в 210 тысяч долларов и разделите часть этой суммы, 150 тысяч долларов, в качестве бонуса между собой и своими партнерами. Об оставшихся 60 тысячах вы скажете позже, что это и есть «прибыль». На этот раз подсчитайте среднюю зарплату, включив в эти подсчеты себя и своих партнеров вместе с бонусами:
средняя зарплата: 97 500;
средняя прибыль владельцев компании: 20 тысяч.
А теперь повеселимся по-настоящему:
общие выплаты зарплат плюс бонусы: 840 тысяч;
зарплаты: 780 тысяч;
прибыль: 60 тысяч.
Теперь все выглядит разумно, правда? Из всей суммы в 840 тысяч долларов, включающей зарплату и прибыль, только 60 тысяч, или 7 %, составили личную прибыль владельцев. Ваши сотрудники будут думать, что вы безупречны, — кто станет обвинять владельца компании в том, что он присвоил 7%? По сути, это ведь не так уж много: 7% делится между владельцами компании поровну, и каждый получает по 2,3%. Да тут даже возразить нечего!
А можно придумать и кое-что получше. Представьте, что в первый год существования вашей компании у вас были только сотрудники, работавшие неполный день. Они зарабатывали по 40 тысяч в год. На второй год у вас были только сотрудники, работавшие полный день. И они получали 66 тысяч, о которых говорилось выше. В таком случае вы со всей уверенностью можете заявить, что в среднем заработок каждого сотрудника увеличился на 65%. Вы — великий предприниматель! Правда, вы замалчиваете тот факт, что сравниваете две несопоставимые вещи: работу на неполный и полный рабочие дни. Могу сказать, что в этом вы не первый: американская корпорация по производству стали U.S. Steel додумалась до этого еще в 1940‑х годах.
* Фандрайзер (fundraiser, англ.) — тот, кто предоставляет услуги по привлечению ресурсов самостоятельно или по контракту. Прим. ред.
