Продолжая цикл видеобесед «Взрослые люди» с классиками – учеными, деятелями культуры, общественными деятелями, ставшими национальным достоянием, – мы поговорили с математиком, лингвистом, заведующим кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета МГУ Владимиром Андреевичем Успенским. Беседовала Любовь Борусяк. Публикуем вторую часть разговора.
Любовь Борусяк: Сегодня мы вновь в гостях у Владимира Андреевича Успенского. Владимир Андреевич – знаменитый математик, математический логик, один из основателей Отделения теоретической и прикладной лингвистики (ОТиПЛ) МГУ, публицист, автор множества книг, и, между прочим, не только научных. Еще с детства он начал сочинять стихи и замечательные пародии. Некоторые из них он написал 14-летним подростком, и впоследствии они были использованы в фильме «Когда я стану великаном», причем авторы фильма не знали, что их написал Успенский подростком).
Еще я всем рекомендую познакомиться с книгой Владимира Андреевича, которая называется «Труды по нематематике». Эта книга мне кажется чрезвычайно интересной, я с удовольствием перечитываю отдельные ее главы. Это и воспоминания, в том числе о Колмогорове и Лотмане, и история создания современной отечественной лингвистики, и философия науки, и многое другое. В этой книге Владимира Андреевича читатель сталкивается с большим количеством парадоксов, идей абсолютно нетривиальных, настолько нетривиальных, что сегодня мне очень хочется о них расспросить.
Владимир Андреевич, в самом начале раздела книги, который называется «Философия», есть фраза о том, что в Индии математика относится к наукам гуманитарным, и, как вы пишете, это вполне оправданно. Но если следовать этой логике, тогда совершенно правильно, что отделение лингвистики существует при филфаке МГУ, а не при механико-математическом факультете, хотя Вам это всегда не нравилось. Как Вы объясните это логическое противоречие?
Владимир Успенский: Если считать математику гуманитарной наукой, это не означает правильности ее нахождения при филологическом факультете. Лингвистика совершенно спокойно может быть и при мехмате. Дело в том, что Мехмат состоит из двух частей: из отделения математики и отделения механики. Механика – негуманитарная наука, в значительной степени это наука экспериментальная, там есть лаборатории.
Сейчас, когда университет переехал в новое здание, Институт механики находится более чем в километре от Мехмата, это огромное отдельное здание. Раньше это располагалось подвале того же здания, что и Мехмат, и я туда иногда (хотя довольно редко) заходил. Это было неслыханно интересно, потому что там изучали гидродинамику, текли какие-то жидкости. Когда изучали газовую динамику, то запускали такой звук, что лопались барабанные перепонки, что-то такое чудовищное было. Было очень интересно.
А по отношению к математике существуют разные взгляды, и ее считают не только естественнонаучной дисциплиной. Наш очень крупный математик, можно даже сказать - великий математик, Владимир Игоревич Арнольд – ученик Колмогорова считает, что математика – это часть физики. Вот имеется физика, которая описывает реальный мир, как там все устроено, и у нее есть такая часть, как математика, которая это все описывает математически. И хотя Арнольд настолько превосходит меня по математическому рангу, что с ним даже спорить как-то неприлично, тем не менее, это не единственная возможная точка зрения.
Л.Б.: Вообще, идея о том, что математика – это часть физики, тоже весьма необычна.
В.У.: При существующем, очень грубом делении факультетов университета на гуманитарные и естественнонаучные, математика всегда будет естественнонаучной дисциплиной. В МГУ всегда были проректоры по естественным наукам и по гуманитарным. Если сделать более тщательное деление, то можно сказать, что бывают естественные науки, бывают гуманитарные, а бывает математика – такая отдельная наука.
Л.Б.: А многие историки считают, что есть гуманитарные науки и есть история.
В.У.: Ну, вполне возможно. Математику с равным успехом можно считать и частью психологии, потому что математические понятия, как, впрочем, и физические, реально не существуют: не существует никаких твердых тел, есть только наши представления об этом в нашем уме. Это сложный философский вопрос, я, вообще, не берусь обо всем этом аккуратно говорить.
Математика в некоторых своих областях создает совершенно абстрактные концепции, чрезвычайно далеко уходящие от реального мира. Физика же, какой бы она ни была, всегда описывает какие-то явления реального мира, и положения физики, даже сложнейшие положения теории относительности теоретически могут быть проверены. Другое дело, что не все их них могут быть сейчас экспериментально проверены просто потому, что для этого не хватает точности наших приборов. А что касается математики, то, например, дважды два четыре может быть проверено экспериментально.
Л.Б.: Можно положить палочки.
В.У.: Как совершенно правильно сказал Маяковский, которого с уважением цитирует Арнольд: «человек, который первым открыл, что дважды два четыре, был великий математик, хотя бы он открыл это, считая папиросные окурки». Абсолютно неважно, что считал, но это совершенно правильно. Это описывает что-то реальное, но бывает, что математика в некоторых своих разделах уходит так далеко, что уже совершенно отрывается от реальности. Правда, Арнольд говорит, что тогда это не математика, а философия или что-то вроде игры в бисер. Вообще, всякая классификация «что куда относится» – это очень непросто. С моей точки зрения, и я это очень ценю, в математике, безусловно, есть гуманитарная часть.
Л.Б.: Хотя бы потому, что математика смыкается с философией.
В.У.: Отчасти. Понимаете, это тоже очень сложный вопрос. Математическая логика, когда я ей начал заниматься еще при жизни вождя и корифея всех наук товарища Сталина, была почти лженаукой. Не лженаукой, но почти, что-то такое непонятное, какой-то отрыв от действительности.
Л.Б.: Ну конечно, когда говорят «множества» и не говорят множества чего…
В.У.: Бесконечные множества. Вот говорят «теория бесконечных множеств»: такие разные соображения о разных бесконечностях. Они разные, но как их сравнивать? Понимаете, бесконечность же никто не видал. Есть даже такие математики, которые отрицают бесконечность, они говорят: «Ну, как так? Не бывает никаких бесконечностей. Бывает потенциальная возможность к любому числу прибавить еще единицу и получить большее число. Это не значит, что есть бесконечный ансамбль всех чисел. Его нет. Есть только такой процесс, который позволяет двигаться неограниченно. Нет предела. Нет границы». Это, действительно, разные вещи.
Так вот, когда начинаешь заниматься бесконечностью, то встает вопрос: где эта бесконечность? Ее не видно. Если считать целые числа, тут понятно – какое-то количество палочек. Но уже квадриллион в квадриллионной степени палочек – это представить себе нельзя.
Л.Б.: Гораздо меньшее число уже нельзя представить.
В.У.: И меньшее нельзя. Так вот, это больше, чем число всех элементарных частиц во Вселенной. Это невозможно представить и непонятно, в каком смысле все это существует. Математика оперирует далеко идущими абстракциями и в этом смысле смыкается с философией, которая оперирует такими абстракциями, как «добро», «зло». Что это такое? Какие-то непонятные категории, но философы очень лихо ими оперируют.
Л.Б.: К одной из статей вы взяли эпиграф из Витгенштейна: «Большинство предложений и вопросов, трактуемых как философские, ложны и бессмысленны». К математике это в равной степени относится или нет?
В.У.: Как понимать бесконечно малую величину – это тоже вопрос. Есть такие математики, которые считают, что все рассуждения, связанные с бесконечно малым, бессмысленны.
Л.Б.: А осмысленно то, что можно представить?
В.У.: То, что можно представить. Существует набор абстракций, который все признают. Их как-то еще можно представить. Они говорят, что если не ограничивать человечество в его физических возможностях, например, тем, что существует ограниченный запас времени или чернил, чтобы написать это число на бумаге, мела, чтобы написать на доске, доступного пространства – вообще всего, то квинтиллион в квинтиллионной степени существует. Хотя, наверное, есть и такие, кто считает, что его тоже не существует, но я о таких даже не буду говорить.
А наиболее разумные, в частности, первый заведующий нашей кафедрой - совершенно замечательный математик Андрей Андреевич Марков-младший (его отец – Андрей Андреевич Марков-старший был знаменитым математиком) – утверждал, что квинтиллион в квинтиллионной степени существует, потому что его можно себе представить, если отвлечься от физической ограниченности человека. Конструктивисты говорят, что точными математическими формулами, содержащими бесконечность, можно по некоторым правилам оперировать. Если рассматривать их не как последовательность смысла, а как некую последовательность закорючек, то они поддаются некоторым своим законам.
Л.Б.: Здесь интересно то, что математика ведь вообще работает с абстрактными вещами. Но, по мнению математиков этой школы, есть некий предел, некая граница, которая отделяет разумную абстракцию от неразумной.
В.У.: Что разумно, а что неразумно – по этому поводу у большинства математиков единая точка зрения. Конструктивисты (которые отрицают бесконечность) – это все-таки безусловное меньшинство. Дело в том, что если никак не ограничивать разумную абстракцию, то где-то там, в далеком горизонте или за ним, уже начинаются парадоксы и противоречия. Поэтому где-то нужно ограничивать. А где – никто не знает. Эти противоречия начинаются так далеко, что в реальной математике до них не доходят. Но если заниматься теорией множеств, возникают проблемы. Вот, скажем, великий Кантор, который ее основал, последние двадцать лет своей жизни уже ничего не писал, а все чаще и чаще поступал в нервную клинику… А свою жизнь он кончил в психическом расстройстве.
Л.Б.: Многие знают, что у математиков в этом смысле есть большой профессиональный риск. Видимо, действительно есть опасная граница.
В.У.: Опасная граница есть. Он прикоснулся к чему-то такому и не выдержал.
Л.Б.: И это неслучайно. Я читала работы психологов о математических способностях. Их исследованиями было установлено, что математическая одаренность – это совершенно особая область, и математические способности даже не коррелируют с общим интеллектом, с общими способностями.
В.У.: Вероятно, это как с шахматами. Кстати, то, что вы сейчас рассказали, напомнило мне об одном случае. На моем любимом Мехмате был совершенно замечательный человек – академик Павел Сергеевич Александров. Он был видный представитель старой интеллигенции, говорил, грассируя. Про него есть замечательная совершенно история. В Геттингене он был однажды в бане, а там люди без знаков различия, без одежды, вообще без всего. И к нему было обращение – по-немецки я сказать не могу, потому что немецкого не знаю, но если перевести его на русский язык, то оно было такое: «Герр профессор, передайте, пожалуйста, шайку», то есть по нему было совершенно очевидно, что он профессор.
Выступая на ученом совете мехмата, посвященном вопросам приема на Мехмат (как проводить экзамены, кого брать, кого не брать), он сказал: «Все устные экзамены по математике совершенно бессмысленны, по определению. Потому что любой психиатр скажет вам, что за 20 минут, за 40 минут, и даже за 2 часа поставить точный диагноз психической болезни невозможно, необходимо более длительное наблюдение. А поскольку математический талант – вид психического расстройства…». Он сказал как-то более деликатно, не расстройство, может быть, психическое отклонение.
Л.Б.: А я это обычно называю «особенностью».
В.У.: Я думаю, он сказал «психическое отклонение от среднего».
Л.Б.: Но он ведь сам математик.
В.У.: Безусловно. Так вот, за 40 минут, которые отпускают нам на опрос абитуриента (и это самый максимум), нельзя ничего определить. Конечно, сейчас иначе, набирать стали больше на факультет. Когда я сам поступал, нас, включая астрономов, было человек 120 на курсе. Да и знания были другие, чем теперь.
Л.Б.: Владимир Андреевич, большой раздел Вашей книги – это философия, Вы анализируете серьезные философские проблемы. Одна из этих проблем – все-таки, для чего нужны многие математические исследования? Многие знания в математике, кажутся абсолютной «вещью в себе». Они представляют собой некую ценность, которая не распространяется вовне. Зачем, например, три века пытались решить ту же теорему Ферма? Ведь не для практических же целей?
В.У.: Давайте спросим себя: а почему собственно знание должно иметь практическое применение? Для чего? Чтобы – что?
Л.Б.: Нас еще в школе учили, что геометрия нужна была для того, чтобы мерить землю.
В.У.: А землю мерить для чего?
Л.Б.: Для нужд земледелия.
В.У.: А земледелие для чего?
Л.Б.: Для того, чтобы сажать хлеб, чтобы не голодать.
В.У.: А что, пока не мерили, голодали?
Л.Б.: Нет, ну, наверное, хуже выращивали.
В.У.: Неизвестно, понимаете. Если продолжать такую цепочку: это для чего?, а это для чего?...
Л.Б.: В результате бессмыслица получится?
В.У.: Понимаете, я (в отличие от Вас, Люба, наверное) в прогресс не верю. Я не верю, что с каждым веком человечество живет лучше, чем раньше.
Л.Б.: Тут трудно спорить. Я бы никогда не смогла сказать, что современный человек умнее Аристотеля, скорее, сильно наоборот.
В.У.: Лучше, да – у него теперь есть компьютеры, телевизоры…
Л.Б.: Знаете, об этом хорошо сказал Жванецкий: «Купили цветной телевизор. Что, жить стали лучше? Нет, смотреть стали лучше».
В.У.: Смотреть стали лучше, да. Понимаете, это вопрос очень сложный и примитивный. Мне вот от телевизора только хуже. У меня его нет, и я этим очень доволен. Я говорю общеизвестные банальности. Человечество дошло до того, что создало такое средство, что может уничтожить само себя. Раньше такого не было. Причем разными способами: может взорвать атомную бомбу, а может пустить какую-нибудь бактерию.
Л.Б.: И не один раз уничтожить свое живое, словно одного мало.
В.У.: И не один раз. И бактерии может разные пустить, они все в лабораториях хранятся: какая-нибудь там сибирская язва, чума и прочее. Так что вопрос, должны ли знания иметь практическую ценность, для меня не является аксиомой.
Л.Б.: Но я же на этом совершенно не настаиваю, разумеется. Не являюсь Вашим оппонентом.
В.У.: Знание должно доставлять удовольствие само по себе.
Л.Б.: Оно должно радовать того, кто его добывает?
В.У.: Да, радовать. Это первое. А второе – как раз про теорему Ферма. Пока что, действительно, она никакого практического применения не имеет - кроме того, что при ее решении были созданы замечательные математические методы. Ведь решить ее было очень сложно.
Л.Б.: Замечательные книги уже есть о том, как ее решали, как ошибались, сколько жизней было посвящено решению этой математической проблемы.
В.У.: Да, книга Саймона Сингха «Последняя теорема Ферма» или «Великая теорема Ферма». По-английски называется «Last Ferma Theorem».
Л.Б.: В русском переводе – «Великая теорема Ферма». Безумно интересно читается.
В.У.: Безумно интересно. И действительно, математика от этого развилась. Казалось бы, зачем нам какие-то древние мореплаватели, плывшие на какой-нибудь никому не нужный остров? Зато они потом прокладывали новые пути. Это второстепенно, что развилась математика. Еще есть третьестепенный ответ, вот какой: проблема Ферма – это проблема из теории чисел. Теория целых (1, 2, 3, 4 – самых простых) чисел очень древняя. Она самая простая по первоначальным понятиям, но она очень сложная по результатам. Но теорема Ферма тоже простая.
Л.Б.: По формулировке она очень простая.
В.У.: Там есть проблемы очень сложные, но есть и очень простые по формулировке. Наука о теории чисел развивается с древнейших времен, и долгое время считалось, что это просто такая игра ума. Хотя повсюду были кафедры и отделы теории чисел, в университетах она преподавалась. Почтенная очень наука, но зачем она – никто не знал. Но внезапно оказалось, что она имеет огромное прикладное значение для всего того, что сейчас объединяется общим названием «защита информации», криптография. Не могу сказать, что все, но чрезвычайно многие криптографические системы основаны на тонких свойствах чисел.
Л.Б.: Простых, прежде всего.
В.У.: Именно простых чисел, да. В школе учат, но так плохо, что я не думаю, что кто-нибудь помнит, что такое простое число. Простое число – это число, которое, во-первых, больше единицы, а во-вторых, не делится ни на что, кроме единицы и самого себя.
Л.Б.: Неужели со школы это может кто-нибудь забыть?
В.У.: Конечно. То, что больше единицы, все забывают. Разложение на простые множители (то, что всякое число разлагается на простые множители, причем единственным образом) – этот факт является основой теории чисел. И вот, действительно, криптография, так называемая электронная подпись.
Л.Б.: Это огромная у нас проблема.
В.У.: Проблема, когда клиент общается с банком по e-mail'у по электронной почте. Банк должен быть уверен, что это именно его клиент, а клиент должен быть уверен, что это именно его банк, что он перечисляет деньги туда, куда нужно. Очень непростой протокол происходит: они обмениваются некими сигналами, которые практически невозможно подделать.
Л.Б.: Идея в том, что перемножаются очень большие простые числа, и без ключа это происходит так долго, что подделать его невозможно.
В.У.: Казалось бы, все могут перемножить простые числа. Что-то такое интересное должно происходить. Я не знаю, насколько это реально применяется, может быть, и нет, но это очень эффектно – называется «открытый ключ». Я позволю себе это изложить в терминах Юстаса и Алекса. Представьте себе, что таких агентов, как Штирлиц, может быть у Алекса много во всем мире, и они пользуются каким-то единым тайным шифром для простоты. И представьте, что Алекс получил известие, что шифр взломан. Что он может сделать? Он может сообщить им новый шифр, но боится, что его перехватят.
Л.Б.: По дороге, конечно. Поэтому в открытом виде его нельзя передавать.
В.У.: Он посылает число и подробную инструкцию, как шифровать с помощью этого числа. Все могут шифровать, включая врага, но прочесть не могут. Вот они зашифровали, и свое-то могут прочесть, потому что знают, а рядом лежит зашифрованное Штирлицем послание. Им известно, как он его зашифровал - с помощью этого числа, по присланной инструкции, но инструкция необратима.
Л.Б.: И для этого нужна теория чисел?
В.У.: Для этого нужна теория чисел, очень несложная, кстати сказать У меня даже есть статья по этому поводу. Так вот, если они перехватят такое сообщение, расшифровать его никто не может.
Л.Б.: Почему обратный процесс невозможен?
В.У.: Потому что так это устроено. Обратный процесс невозможен. Вы ведь не можете, надавив на тюбик, запихнуть пасту обратно.
Л.Б.: Понятно. Или сахар растворить можно, а обратно – нет.
В.У.: В реальной жизни полно обратных процессов: ребенка родить обратно тоже нельзя. Так что очень много процессов, которые нельзя обратить.
Л.Б.: Владимир Андреевич, сейчас много споров идет о том, почему математика так плохо сейчас преподается. Точнее, о том, почему она так плохо усваивается. Вы знаете, что по результатам ЕГЭ в прошлом году двойки по математике получили более 20% тех, кто писал.
В.У.: Это очень хороший результат.
Л.Б.: Он был бы хорошим, если бы не одно обстоятельство. У большей части остальных выпускников - еле-еле тройки. Как Вы считаете, может ли быть доступна математика школьного уровня, то хотя бы большинству людей?
В.У.: Нормальным людям – безусловно. В школе все преподают плохо. У меня лично школа была очень хорошая, я считаю, но я сейчас я скажу по поводу того, что дети выносят из школы. Есть такой Международный университет в Москве, одно время я вел там какие-то занятия, много лет назад. Там в основном девочки были, хотя и какие-то мальчики тоже. И выяснилось, что никто не знает таблицу умножения.
Л.Б.: Таблицу умножения?
В.У.: Да, никто не знает.
Л.Б.: А какой же это факультет был?
В.У.: Филологический, наверное, не помню точно.
Л.Б.: И Вы им высшую математику читали?
В.У.: Нет, не высшую, но что-то такое. Должен сказать, что я не мог им объяснить, зачем нужна таблица умножения, и вот по какой причине. Они сказали: «Вам нужно что-то умножить?» Я говорю: «Конечно, давайте там умножьте 17 на 38». Они говорят: «Сейчас». Все вытащили калькуляторы и сказали: «Вот вам ответ. И зачем нам таблица умножения?». Надо сказать, что я несколько растерялся и продолжаю в этой растерянности находиться.
Это проблема социальная. Первый вопрос: может ли математика быть доступна нормальному человеку с нормальными способностями? Школьная математика – да, может. Теперь второй вопрос: почему этого не происходит? Здесь очень много разных причин, но главная – плохое преподавание. Я думаю, это не только у нас. В Америке преподают математику не лучше, что связано, как ни странно, с большей свободой. Это причина социальная, потому что государство не может себе позволить не вводить всеобщего сперва 10-ти, потом 11-ти, а теперь даже поговаривают о 12-летнем образовании. Потому что нужно детей чем-то занять. Это никакого отношения к получению знания не имеет.
Л.Б.: Конечно. Сейчас опять заговорили, что кризис, куда им деваться – пусть лучше сидят и чему-нибудь учатся, чем влиться в ряды безработных. А так хоть при деле.
В.У.: Это очень важная социальная проблема. Я не хочу сказать, что государство себя неправильно ведет, когда хочет это ввести. Но к обучению и получению знаний это никакого отношения не имеет. С моей точки зрения, обязательным должно быть четырехклассное образование, может быть, пятиклассное, я не знаю. Начальное.
Л.Б.: То есть научиться себя обслуживать, рассчитаться в магазине…
В.У.: Уметь грамотно написать, прочитать, сосчитать, какие-то элементарные технические знания (чему, кстати, у нас в школе не учат). Понимаете, я считаю, что починить текущий кран должен уметь всякий. Я вот не умею, и очень от этого страдаю. Приходят некоторые мои друзья, и делают это за минуту. Прокладки всякие там заменить, починить выключатель.
Л.Б.: Это электричество, это страшно.
В.У.: Может быть. Хорошо, но, скажем, починить вилку от лампы выключенной – это не страшно, потому что она выключена. Еще чему я считаю, надо бы обязательно учить в школе, даже начиная с детского сада, – умению сидеть на корточках.
Л.Б.: Зачем?
В.У.: Как зачем? Сейчас объясню. Вы заметили, как восточные люди сидят?
Л.Б.: Они могут сидеть часами.
В.У.: А мы не можем. Потому что сидеть нужно так, чтобы ляжка, то есть верхняя часть ноги, полностью лежала на нижней. А мы этого не умеем. Когда европейцы сидят на корточках, они сидят на цыпочках, пятка у них поднята от земли. Так долго просидеть невозможно.
Л.Б.: А для чего это нужно, зачем?
В.У.: Зачем? Очень просто. Вот вы идете по улице, вы устали, хотите сесть. Сидеть на корточках – все равно, что сидеть на стуле.
Л.Б.: Ну да: если не напряжены мышцы, ты не устаешь. И они отдыхают при этом?
В.У.: Конечно. А есть другой способ восточного сидения: когда нижняя часть ноги, от колена и ниже, горизонтально лежит на земле. Так японцы сидят, скажем. Нам это необязательно, потому что где мы так будем сидеть? У японцев – другое дело, у их вся жизнь на полу. А вот на корточках сидеть, с моей точки зрения, обязательно надо научиться. Для меня это очевидно, но все точно так же удивляются, как и вы.
Л.Б.: Просто я не слышала никогда, что это полезная вещь. Мне всегда казалось, что это дико трудно, и нагрузка больше, чем в любом другом положении.
В.У.: Правильно. Если вы посмотрите где-нибудь, как сидят на корточках, вы увидите два совершенно разных способа. Вы смотрите, пятка при этом поднята или стоит на земле. Если стоит на земле, так можно сидеть сколько угодно, как на стуле. А если она поднята – так не удержишься, стоя на цыпочках.
Л.Б.: В данном случае это уже касается физкультуры, то есть умения владеть своим телом.
В.У.: Безусловно.
Л.Б.: Вы считаете, что этих навыков, интеллектуальных и физических, большинству людей достаточно. А все остальное?
В.У.: А все остальное – если захочет.
Л.Б.: И вот тут выясняется, что если в начальной школе что-то усваивается (читать и как-то там считать дети учатся), то дальше начинаются большие проблемы с освоением школьного материала. В каком объеме нужна математика обычному человеку, тому, кто не собирается связывать свою жизнь с математикой или с инженерным делом?
В.У.: В очень небольшом объеме.
Л.Б.: То есть то, что сейчас дает или пытается дать школа, содержит много лишнего. Подростку это реально не нужно.
В.У.: Много лишнего, просто масса вещей. Нужно учить вот чему – пользоваться справочниками, пользоваться Интернетом. Формулы никакие учить, конечно, не надо. Зачем?
Л.Б.: Я помню школьную тригонометрию: формулы, формулы и формулы.
В.У.: Кошмар, кошмар. Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения учить точно не надо.
Л.Б.: Все учили, куда ж деваться. На самом деле их можно легко посмотреть.
В.У.: В справочнике посмотреть, в Интернете. Но этому надо специально учить, потому что это целое умение.
Л.Б.: Но смотреть ведь нужно уже после того, как ты понимаешь физический смысл того, что это такое. Потому что в тригонометрии если ты не понимаешь, о чем речь, то и справочник не поможет.
В.У.: Тому, кто не будет связан ни с какой математикой, тригонометрия не нужна совсем.
Л.Б.: А мне, например, просто сам процесс решения тригонометрических задач нравился. Я получала от него удовольствие.
В.У.: Вы совершенно правильно говорите, с этим я полностью согласен, что математикой надо заниматься для удовольствия. Если кто хочет учиться дальше – пусть учится, ради бога. И надо, чтобы государство помогало в этом, обеспечивало, что называется, условия. Но если не хочет, если не нужно, то имеет право этого не делать. Если ребенок маленький, то родители должны решать. Но сразу возникает социальная проблема – а куда его девать-то?
Л.Б.: Но учить чему-то все равно надо.
В.У.: Это другой вопрос, не вопрос обучения. Куда его девать? Пусть учится в музыкальной школе или учится кройке и шитью.
Л.Б.: До восемнадцати лет?
В.У.: Куда девать – это другой вопрос, понимаете. Почему нужно обязательно учить? Например, учить тому, как устроены галактики. Надо долго думать, чему учить. Считать, что все обучение в старших классах происходит только потому, что некуда девать – в этом есть даже что-то унизительное для человечества. Основной итог школы – это ненависть к тем предметам, которые там изучаются.
Л.Б.: Не у всех.
В.У.: Ну и слава богу! У меня тоже не было. Но мне очень многие люди говорили, что они даже Пушкина стали читать только через много лет после окончания школы, потому что его так вбивали. Моя идея в том, что литература в школе не должна превратиться в литературоведение. Нужно превратить школьные предмет «литература» в литературное чтение. Нужно, чтобы люди читали русскую классику. А разбирать какой-то образ или где здесь композиция, как изображена природа: «Дети, посмотрите, с каким тонким лиризмом изображена здесь природа» - это все наводит тоску и вызывает ненависть. Нужно, чтобы просто читали!
Л.Б.: А разговаривать об этом не требуется?
В.У.: Ну, можно и поговорить.
Л.Б.: Мне кажется, что любое чтение, если книга вызывает интерес, всегда предполагает потом обсуждение. Обсуждение всегда интересно
В.У.: Согласен. Об этом я не сказал, это мое упущение. Но отметки нужно ставить только за «прочел/ не прочел», а это можно легко проверить.
Л.Б.: Проверить знание текста?
В.У.: Да. Не то, что он должен наизусть что-то там выучивать, но содержание знать должен.
Л.Б.: А впечатление неважно?
В.У.: Допустим, плохое впечатление. Если уж вы так ссылаетесь на «Труды по нематематике» (где слово НЕ написано на обложке большими буквами), то там же есть результаты вступительных сочинений на химический факультет бог знает в каком году. Я был в комиссии, которая изучала эти результаты.
Л.Б.: Это было в начале 1960-х годов.
В.У.: Да. Там кому-то снизили отметку за то, что Печорин ему, видите ли, не понравился. Или Онегин не нравится, и Татьяна не нравится, а нравится не знаю там кто.
Л.Б.: Грушницкий, например, а он плохой, нравиться не должен.
В.У.: А он плохой. Понимаете, это ведь право каждого. Вот в ЕГЭ включить бы такой вопрос: «На дуэли Онегина и Ленского кто был секундантом Онегина?» И четыре варианта. Если человек не читал…
Л.Б.: Ну, Владимир Андреевич, знаете, сколько возмущения общественности будет, что нашу молодежь за полных идиотов считают, что это вещи несущественные…Что проверяется не память, а понимание и пр.
В.У.: Именно несущественные и надо спрашивать, потому что это доказательство, что человек прочел. Понимаете, когда я слышу слово «духовность», я не хочу повторять слова преступников, но мне хочется за что-то схватиться…
Л.Б.: Тем не менее, оно, это выражение, очень активно используется. В частности, в том контексте, что русская литература – основа русского менталитета и русской духовности.
В.У.: Нет, я не понимаю, не знаю этого слова. «Духовное лицо» – понимаю. «Духовник» – понимаю такое слово. А что такое «духовность» я не понимаю. Помните, была такая песня: «Мы не пашем, не сеем, не строим – мы гордимся общественным строем»?
Л.Б.: Это из фильма Рязанова «Забытая мелодия для флейты».
В.У.: Да. Я считаю, что есть некоторые достижения России, которыми можно было бы гордиться. А вот когда гордятся духовностью, ощущение, что это из-за отсутствия остального. Потому что тут не попрешь: духовность… Значит, ничего другого не могут предъявить. Это мне не нравится.
Почему за школьные сочинения так все держатся? Разные есть мотивы. Мощная когорта гуманитариев хочет остаться при своих. Их тоже можно понять: они потеряют работу. Скажем, Иван Георгиевич Петровский – замечательный совершенно человек, прекрасный математик, выдающаяся личность. Когда он создал комиссию по изучению сочинений на химическом факультете, то сам он упорно называл этот экзамен экзаменом по русскому языку.
Л.Б.: Там одна оценка ставилась и по литературе, и по русскому.
В.У.: Это вообще безобразие, потому что это совершенно разные вещи. Это как если человек пишет сочинение по ботанике, и ему за грамотность снижают оценку по ботанике. Но я хотел сказать о другом. Распространенное мнение, что человек должен писать грамотно. Против этого не попрешь: человек действительно должен писать грамотно. Но вот что смесь из грамотности и образа помещика – это полная каша, этого никто не хочет понимать.
Л.Б.: А вообще возможны объективные критерии оценки?
В.У.: Чего? Грамотности?
Л.Б.: Нет, не грамотности, здесь понятно, содержания.
В.У.: Литературы? Конечно, нет. А вот объективная оценка знания текста может быть. Меня бы многие за эти предложения гильотинировали, я понимаю .
Л.Б.: За это? Запросто.
В.У.: Но с меня-то взятки гладки. Я же говорю безответственно, все равно меня никто слушать не будет.
Л.Б.: Ваше отношение к школьным сочинениям – это одно из мест в Вашей книге, которые я бы, несомненно, отнесла к парадоксальным. А зачем быть грамотным?
В.У.: Грамотным, с моей точки зрения, быть необходимо, по крайней мере, по двум причинам.
Л.Б.: Главной и второстепенной?
В.У.: Нет, обе главные. Одна причина иррациональная. Она состоит в том, что надо быть грамотным, и все тут.
Л.Б.: Понятно, это личная установка.
В.У.: Надо быть грамотным точно так же, как надо сморкаться в носовой платок, а не на пол.
Л.Б.: Или в занавеску.
В.У.: Или в занавеску. В конце концов, занавеску можно выстирать. Далее. В принципе можно писать фонетически. Сколькими способами можно написать слово «аспирант», чтобы звучало совершенно так же? Например, если написать «озперанд», прочтется так же. Ну, и разные есть такие придумки. Но разные способы написания замедляют процесс чтения.
Л.Б.: В компьютере можно не только написать, но и проверить.
В.У.: Конечно, есть проверки – так называемые spelling checker'ы. Правда, если вы пишете от руки, никакой spelling checker вам не поможет.
Л.Б.: А сейчас не пишут от руки.
В.У.: Сейчас не пишут от руки, сейчас пишут на компьютере. Хорошо, я не возражаю. Отменяем письмо от руки.
Л.Б.: Другое дело, что сами вордовские правила проверки очень плохие.
В.У.: Вот! Во-первых, плохие. А главное, что они тоже заменяют некоторые вещи. Вот я сам себя считаю довольно грамотным, но, тем не менее, я пишу с огромным числом опечаток, и мне все время красненьким подчеркивают и требуют менять. Я тут же меняю, в самых глупых местах (корова через ять, грубо говоря). Но это всякий раз занимает время. Короче говоря, вторая причина совершенно практическая: безграмотное писание сильно замедляет процесс и чтения, и писания.
Л.Б.: Ну, понятно. В нашем мире больших скоростей, когда люди торопятся… Но узнавание слов ведь все равно будет происходить?
В.У.: Будет, но процесс узнавания сильно замедляется. Можно оставить неправильно написанное, можно отключить опцию проверки, как написал – так и написал. Но тогда узнавание еще медленнее идет.
Л.Б.: Узнавать тяжело будет, конечно.
В.У.: Такие эксперименты были.
Л.Б.: Какого рода?
В.У.: Сколько времени требуется. Очень давно, еще spelling checker'ов не было. Просто для того, чтобы понять, зачем нужна грамотность?
Л.Б.: Грамотность, на самом деле, это, прежде всего, социальное позиционирование себя.
В.У.: Это первая причина, а вот вторая причина ставилась разумными практическими людьми – языковедами, лингвистами.
Л.Б.: Как вам кажется, если сейчас нормы написания будут меняться, начнут ли они приближаться к фонетическим?
В.У.: Этого я не знаю. Это сложный вопрос, я отказываюсь отвечать на него.
Л.Б.: А требуется ли упрощать некоторые правила, которые все равно в массовом порядке нарушаются? Мы должны народ притягивать к правилам или правила приближать к народу?
В.У.: Значит, так. В начале 1960-х годов была очень большая дискуссия об упрощении правил орфографии.
Л.Б.: Кстати, а почему (извините, что я вас перебила), меня это много лет удивляет, тогда решили «изысканный» и подобные слова писать через «ы»? Зачем менять эти «и» на «ы»? По-моему, это не очень логично.
В.У.: Некоторые правила мне казались там непонятными. Именно это «и» и «ы». Вот «огурци» через «и». Когда говорили, что «огурци» надо писать через «и», кто-то писал: «Я ваших огурцей есть не буду». Я понимал, что можно и так писать, но почему «огурци» через «и» лучше, чем через «ы», это мне было не очень понятно.
Л.Б.: А, например, «брошура» через «у» явно ничем не хуже.
В.У.: Я не понимал, но знал, чем это хуже на самом деле. Потому что орфография влияет на произношение, хотя лингвисты не хотят этого признавать. В основном новые правила, эти предложения по упрощению были очень разумными. В частности, писать «заЕц», а не «заЯц». Кстати, если вы помните, был очень смешной фильм «Тридцать три».
Л.Б.: Конечно. Про лишний зуб.
В.У.: Этот человек, у которого 33 зуба, такой национальный герой, летит на Марс. И когда он уже садится в ракету, по полю бежит профессор в шапочке по полю и говорит: «Вот вы улетаете, и очень важно ваше мнение: как надо писать – «заЯц» или «заЕц»?» Андрей Анатольевич Зализняк испытывает некоторую гордость, что он изображен в художественном фильме, потому что это его предложение, и это он изображен в виде этого профессора. Это действительно было разумное предложение, и много было других разумных предложений. Но члены той орфографической комиссии не понимали, что изменение орфографии – это не лингвистический вопрос, а социальный.
Они этого не поняли, не хотели понимать, и не в состоянии были понимать. Они считали: это же разумно, а если что неразумно, вы нам скажите, и мы это отменим, можно нас убедить. Но если это разумно, то так лучше: правила будут проще, и меньше будут делать ошибок. Но это вопрос социальный – переход на новую орфографию.
Л.Б.: Мне кажется, убедить общество поменять орфографию невозможно.
В.У.: Невозможно. Когда в 1918 году отменялась старая орфография, в соответствующем декрете советская власть была толерантна: правильными признавались оба варианта. Писать надо вот так, но если кто написал по-старому, это тоже правильно, и не следует, скажем, ставить двойку в школе. А у нас, конечно, так не будет. Орфография может быть улучшена, потому что можно научно составить орфографию очень разумно, с меньшим количеством правил и меньшим количеством исключений.
Л.Б.: Но это слишком негативный резонанс вызывает. Вообще, проблемы такого рода всегда воспринимаются как поползновение на нашу культуру.
В.У.: Правильно.
Л.Б.: Как вам кажется, Владимир Андреевич, массово готовить в школе грамотных людей – это вообще реально? Сейчас этого совсем не получается. Неужели русская орфография настолько сложная? Или это нежелание учиться и неумение учить?
В.У.: Люба, Вы меня спросили, можно ли обучать обычных средних людей математике, чтобы они ее понимали? Отвечаю: можно. Реально ли это? Не знаю.
Л.Б.: Понятно. Теоретически можно, а практически вряд ли.
В.У.: А практически – нет. Потому что вот, скажем, совершенно гениальный математик, один из самых крупных математиков 20-го века, Колмогоров, мой учитель, попытался провести реформу математики в школе.
Л.Б.: Он вообще проявлял очень большой интерес к школьному образованию, создал знаменитый Колмогоровский интернат, ныне СУНЦ.
В.У.: Реформа его была очень разумной, но, как это ни грустно, она провалилась. Провалилась, потому что он не понимал, по-видимому, что это социальный вопрос.
Л.Б.: Все, что касается образования, это социальная проблематика, а не какая-то еще.
В.У.: Проблема в том, что пришлось бы всех учителей переучивать, включая учителей какого-нибудь поселка на Чукотке. Поэтому все были против. Тут я должен сказать (я впервые это публично говорю), что это был единственный случай, когда я в частной беседе с ним позволил себе с Колмогоровым не согласиться.
Я говорил ему: «Андрей Николаевич, это не ваше дело – писать учебники для школы, не ваше дело даже писать учебники для студентов пединститутов. Ваше дело – писать учебники для профессоров пединститутов. Вот для них напишите книгу о том, как в пединститутах учить студентов, чтобы они потом учили детей. Вот это ваше дело». Но он не согласился со мной. Я даже не могу сказать, что я был прав, а он нет, потому что Колмогоров по определению более прав, чем я. Но вот такое у меня было ощущение. Это я про социальное.
Специализированный учебно-научный центр имени Колмогорова, который вы упомянули, – это великая вещь. Все ему за это благодарны. Но все же специализированное обучение тех мальчиков и девочек, которые хотят заниматься математикой – это одно, а общее образование – совсем-совсем другое. Кстати, я очень хорошо помню, кто-то при мне спросил Колмогорова: «Андрей Николаевич, как вы считаете, дети из сельской глубинки менее способные?» Он твердо сказал, что сельские дети совершенно так же способны или не способны к математике, как дети из интеллигентнейших московских семей. Другое дело, что они знают, как их там учили. Но собственно способности…
Л.Б.: А почему возник такой странный вопрос? Талант – это же «поцелуй бога», а он может поцеловать кого угодно.
В.У.: Вот так.
Л.Б.: И на мехмате много ребят из разных городов и весей. Всегда так было, и сейчас не изменилось. Но вернусь к «загадкам» Ваших книг. Владимир Андреевич, так все-таки дефис и апостроф – это буквы? Для непрофессионалов их отнесение к буквам кажется очень неожиданным.
В.У.: Одно из двух. Русское слово состоит из букв и только из букв, или оно состоит из букв и чего-то еще. Есть текст, и там встречаются и знаки параграфов, и знаки препинания, и что-то еще. А вот слово русское? Как считать? В зависимости от того, как вы скажете, я вам скажу, буква это или нет. Слово состоит только из букв, которых 33 в русском языке, и каждая еще бывает большая и маленькая, или из букв и чего-то еще? Как вы распорядитесь, тогда я вам отвечу, буква это или не буква.
Л.Б.: Понятно. Вы доказывали, что, в общем-то, это тоже буквы.
В.У.: Если считать, что всякое слово русского языка состоит из букв и ничего другого, поскольку можно предъявить такие слова, в которых внутри слова встречается апостроф.
Л.Б.: Например, Д'Артаньян.
В.У.: Например, Д'Артаньян. Апостроф в словах встречается, по-видимому, только в собственных именах. Я не знаю других слов, в которых встречается.
Л.Б.: По-видимому, да.
В.У.: А дефис встречается очень часто, везде где угодно. И с моей точки зрения, это буква.
Л.Б.: А ноль – это часть натурального ряда? Опять-таки «проблема нуля» для нематематиков – это чистая игра в бисер, а математики не могут договориться уже очень долго.
В.У.: Это сложный вопрос.
Л.Б.: Я так понимаю, что вы сторонник включать ноль в натуральный ряд.
В.У.: Это вопрос – что считать натуральным рядом, натуральным числом. Дело в том, что есть числа количественные и считательные. Количественное число – это сколько чего-нибудь может быть. Вот сколько в этой комнате может быть рассыпанных по полу спичек? Я не знаю, очень может быть, что у меня под столом какие-то спички лежат, не выметенные оттуда. Их может быть 7, а может быть 0.
Л.Б.: Только отрицательного их числа не может быть точно.
В.У.: Да, наименьшее количественное число – это 0. Если считать, что натуральный ряд состоит из количественных чисел, то 0 – натуральное число. А бывают числа «считательные» - когда мы начинаем пересчитывать предметы…
Л.Б.: И ноль пересчитать нельзя.
В.У.: Вот мы считаем, сколько в этой комнате людей. Раз, два, три. Наименьшее считательное число даже не один, а раз. Разные понятия – считательное и количественное число. Это философский вопрос, чем считательное отличается от количественного.
Л.Б.: Нолем, собственно, и отличаются.
В.У.: Нет, это натуральные ряды отличаются этим. Но они возникают из-за разных процессов.
Л.Б.: То есть это символ веры: одни принадлежат к одной школе и присоединяют ноль…
В.У.: Нет.
Л.Б.: А как?
В.У.: Ну да, можно сказать, что это символ веры. А можно понять, что есть два подхода. Символ веры – это если бы я считал, что есть только количественные числа и ноль, а всех, кто считает, что натуральное число – это считательное, нужно сжигать на костре. Все-таки можно так считать, а можно по-другому считать.
Л.Б.: Можно, конечно, с нами не соглашаться, только правы те, кто с нами согласен. Если мы так считаем, то этот подход более правильный. Обычно толерантность ограничивается таким допущением «правоты противников».
В.У.: Если вам еще не надоело меня слушать, я хочу рассказать еще вот что.
Л.Б.: Наоборот, очень интересно.
В.У.: Когда Колмогоров занимался стиховедением, он очень уважительно относился к своим предшественникам – Томашевскому, Шенгелия, Андрею Белому. Когда они анализируют одно и то же произведение, у них получаются разные результаты. И все считали, что кто-то из них прав, а другие неправы. А он обнаружил, что они по-разному понимали, что такое, скажем, безударный и ударный слог. И потому нельзя сказать, кто из них более прав. Просто у них были разные понятия ударного и безударного слога. И все. Поэтому получались разные результаты.
Л.Б.: Но математика, вообще-то не любит неоднозначностей. Математике, мне кажется, это имманентно не присуще, чуждо.
В.У.: Очень много неоднозначностей в математике, на самом деле. Она ее, конечно, не любит, но если копнуть поглубже… Возьмем, скажем, такую простую вещь, как определение угла. Очень разные есть подходы к тому, что такое угол. В треугольнике понятно, что это такое. А что такое угол вообще? Я сейчас не хочу говорить подробно, но в математике масса терминов, о которых надо договариваться. Все они обозначены, они имеют несколько смыслов, и все они очень точные, эти смыслы.
Скажем, если угол – это два луча, имеющие общую точку, то что такое угол в 479 градусов – уже непонятно. Другое понимание, что угол – это мера поворота одного луча, а чтобы он перешел в другой, нужно несколько раз прокрутить и т.д..
Л.Б.: И это математика, в которой как бы точно все определено.
В.У.: Там все определено, но иногда бывает, что один и тот же термин используется в разных смыслах, но каждый раз понятно, в каком.
Л.Б.: И логика тоже может быть многозначной в математике? Если так, Вы разобьете мои последние иллюзии.
В.У.: Нет, логика однозначна.
Л.Б.: И именно это делает применение математики (я цитирую одну из Ваших статей) в какой-то науке свидетельством того, что данная наука достигла некоего уровня развития, а также о некотором ее новом состоянии. Применение математики в гуманитарных науках, в свою очередь, это новый толчок для их дальнейшего развития.
В.У.: Между прочим, если посмотреть последние выборы в Академию наук, то последние три члена-корреспондента, которые были избраны, все как-то связаны с математикой.
Л.Б.: Математизация науки в широком смысле – это процесс, который продолжается? Вам кажется, что за ним будущее?
В.У.: Не знаю. Не могу ничего сказать.
Л.Б.: Когда-то Вы уверенно писали, что развитие науки предполагает ее математизацию. Сейчас уже не готовы так уверенно говорить?
В.У.: Понимаете, одно дело что-то просто написать. Ну, написал и написал. А если устно говорить, то нужно более подробно объяснить, почему. Это я сейчас не готов сделать.
Л.Б.: Владимир Андреевич, я вновь с большим интересом Вас опять послушала. Может быть, Вы хотите что-нибудь интересное сказать нам на прощание?
В.У.: Хочу поприветствовать «Полит.ру», это очень хороший сайт. Это очень хорошее интернет-издание, я его ценю и хочу вас приветствовать.
Л.Б.: Спасибо большое.
