17 сентября исполняется 180 лет со дня рождения немецкого математика Бернхарда Римана, известного своими работами по теории функций комплексного переменного и новаторскими теориями в области дифференциальной геометрии.
Интерес к математике проявляется у Римана еще во время обучения в Ганноверской и Люнебургской гимназиях, но по настоянию отца в 1846 он поступает в Гёттингенский университет, где учится у Гаусса, Штерна, Гольдшмидта. С 1847 г. по 1849 он слушает в Берлинском университете лекции К. Якоба по механике и П. Дирихле по теории чисел, тогда был заложен фундамент исследований Римана по теории функций комплексного переменного. Затем он возвращается в Гёттингенский университет, где работает совместно с сотрудником Гаусса, физиком В. Вебером.
В 1851 году Риман защищает Grundlangen f ür eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen compelexen Grö sse» («Основы общей теории функций одной комплексной переменной»), в которой он рассмотрел аналитические функции с геометрической точки зрения, ввёл понятие, позже известное как римановы поверхности. В этой работе реализуется идея Римана основать теорию функций комплексной переменной, которая возникла во время научных бесед с Г. Эйзенштейном в Берлинском университете.
В 1854 Риман выступил сразу с двумя фундаментальными работами: о представимости функций тригонометрическими рядами и о гипотезах, лежащих в основаниях геометрии (ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854). В последней он предложил общую идею математического пространства как многообразия произвольного числа измерений, классифицировал все существовавшие виды геометрии, включая и весьма неясную в то время неевклидову геометрию, показал возможность создания любого числа новых типов пространства, многие из которых были затем введены в геометрию и математическую физику. Он рассмотрел так называемые римановы пространства, предложив исследовать внутреннюю геометрию пространств, тем самым заложив основы дифференциальной геометрии и поставив вопрос о «причинах метрических свойств» физического пространства, как бы предваряя то, что было сделано позднее в общей теории относительности А.Эйнштейном. Риман исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Римана, что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Риман также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).
Б. Риман пишет, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые – суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение.
Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a. Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана. Он формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка. Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке. Риман ввел строгое понятие определенного интеграла и доказал его существование.
Б. Риман – автор одной из самых увлекательных загадок математики. В 1859 году он сформулировал гипотезу о распределении ряда простых чисел. Простое число - целое положительное число, большее единицы, делящееся только на единицу и само себя (например - 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее). Среди простых чисел встречаются так называемые "близнецы" или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11 и 13). "Близнецы" появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым. Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество "близнецов", пока не существует. Распределение простых чисел среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности, однако Риман утверждал, что ряд этих "близнецов" бесконечен. Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута, хотя большинство математиков верят, что она верна. На сегодняшний день проверены первые 1 500 000 000 решений. Институт математики Клея (Кембридж, Штат Массачусетс) обещал выплатить приз в 1 млн. долларов нашедшему решение этой задачи. Последними соискателями приза стала группа математиков изУниверситета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia). Подробнее об этом открытии – в новостях Университета.
Доказательство гипотезы Римана может иметь практическое применение гораздо шире, чем кажется на первый взгляд. Простые и так называемые "полупростые" числа (которые делятся только на два других простых числа) - лежат в основе системы криптографии, известной как RSA. Поэтому если гипотеза будет доказана, то это приведет к революционному прорыву в области криптографии.
В 1854 Риман стал приват-доцентом Гёттингенского университета, в 1857 – экстраординарным профессором, в 1859 – директором Гёттингенской обсерватории. Он умер не дожив до сорокалетнего возраста от туберкулёза, его труды были выпущены благодаря последователям.
Предложенные Риманом идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике.
